배열 안테나의 합성(Synthesis of Array Antenna)

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1. 배열 안테나

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[그림 1] 원소 안테나의 위상을 조정해서 자유롭게 빔 조향(출처: wikipedia.org)

배열 안테나(array antenna)는 원소 안테나(element antenna)의 여기(excitation) 진폭과 위상을 조절해서 주빔(main beam) 방향, 안테나 이득(antenna gain), 부엽 수준(sidelobe level, SLL), 격자엽(grating lobe) 등의 안테나 규격을 만족시킨다. 원소 안테나의 진폭을 마음대로 바꾸기는 어려워서, 주로 원소 안테나의 위상을 위상 천이기(phase shifter)로 변경한다. 왜냐하면 증폭기로 진폭을 바꾸려면 가격이 비싸고 정밀한 제어가 어렵고, 가변 감쇠기(variable attenuator)는 RF 전력을 감소시키기 때문에 선호되지 않기 때문이다. 그래서 배열 안테나의 기본형으로 여기 진폭을 1로 둔 균일 선형 배열(uniform linear array, ULA)을 선택한다. ULA는 겉보기에 간단해 보이지만, 경우의 수 관점에서 ULA 설계는 매우 까다롭다. 예를 들면, 통상적인 위상 천이기의 위상 분해능(phase resolution)은 대략 6비트(6-bits) 혹은 5.6˚ 정도이다. 그러면 50개 원소를 가진 ULA의 개별 위상을 바꾸는 경우의 수는 $(2^6{)}^{50}$ $\approx$ ${10}^{90}$이 나온다. 우주에 존재하는 모든 원자(atom) 개수를 약 ${10}^{80}$으로 예상하기 때문에, 원소 개수가 $N$ = $50$인 ULA 설계는 우주 속의 모든 원자보다 많은 경우의 수를 가진다. 따라서 배열 안테나 설계는 단순한 최적화로는 달성할 수 없고 지능적 전략과 이에 걸맞는 최고 수준의 최적화 기법이 필요하다.

   1. 쉘쿠노프 다항식 방법(Schelkunoff polynomial method)    [1]

배열 인자(array factor, AF)의 영점(zero)을 활용하는 기법으로 쉘쿠노프 다항식 방법(Schelkunoff polynomial method)이 있다[1]. 쉘쿠노프Sergei Alexander Schelkunoff(1897–1992)는 1936년쉘쿠노프 39세, 일제 식민지 시절에 쉘쿠노프 등가 원리(Schelkunoff equivalence principle)를 제안한 수학자 출신 공학자이다. 쉘쿠노프 다항식 방법은 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)에 기반을 두고 있다. 우리가 $N$개 각도에서 복사 패턴의 영점을 만들고 싶다면, 이 위치에서 근을 가지는 다항식 $P(z)$를 배열 인자 $\text{AF}(\theta )$로 활용한다.

                          (1.1)

여기서 $z$ = $e^{j\psi }$, $\psi$ = $kd\cos \theta$, $k$ = $2\pi /\lambda$, $a_N$ = $1$; 원소 안테나 개수는 $N+1$, $d$는 원소 안테나의 간격, $z_n$ = $e^{jkd\cos {\theta }_n}$는 $\theta$ = ${\theta }_n$에서 복사 패턴이 0이 되는 영점, $a_n$은 $n$번 안테나의 여기 계수(excitation coefficient)이다. 조건 $a_N$ = $1$을 가지고 식 (1.1)에 나온 $P(z)$를 전개한 후, 여기 계수 $a_n$을 각 $z^n$ 항의 계수로 정한다.

[참고문헌]

[1] S. A. Schelkunoff, "A mathematical theory of linear arrays," Bell Syst. Tech. J., vol. 22, no. 1, pp. 80–107, Jan. 1943.