자기 단극자(磁氣 單極子, Magnetic Monopole)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "자기 단극자"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 벡터 항등식

2. 맥스웰 방정식

3. 대칭적인 맥스웰 방정식

4. 맥스웰 방정식의 쌍대성
5. 전자파의 운동량

맥스웰 방정식(Maxwell's equations)이 반드시 대칭성을 가진다고 가정하면 자하(磁荷, magnetic charge)라 불리는 자기 단극자(magnetic monopole)의 존재성을 확신할 수 있다. 하지만 자연계는 서로 대칭성이라는 전제에 대한 증명이 필요하다.[유명 물리학자들이 자연계의 비밀을 밝힌 단서는 자연 법칙은 단순하다는 가정이다. 이 가정을 증명할 길은 없지만 우리 공부가 나갈 방향을 정해준다.]

[그림 1] 전기 및 자기 단극자(출처: wikipedia.org)

자기 단극자[혹은 자기 홀극]를 아직까지 발견하지 못했지만, 자기 단극자가 존재할 경우의 물리적 성질은 다양하게 연구되었다[1], [2]. 자기 단극자 연구를 처음으로 시작한 물리학자는 그 유명한 디랙Paul Adrien Maurice Dirac(1902–1984)이다. 수줍은 천재라 불리는 디랙은 극단적으로 내성적이고 수줍음이 많았다. 말도 거의 하지 않았다. 하지만 그의 내면은 누구도 범접할 수 없는 거대한 신념, 즉 수학 법칙으로 우주를 간단히 설명할 수 있다는 믿음이 있었다. 주변에 어눌한 녀석이 있더라도 멍청하다고 생각하지 말자. 그 친구가 디랙처럼 위대한 내면을 가지고 깜짝 놀랄 법칙을 만들 수 있다. 전기 공학으로 공학사를 받았지만[수석 졸업!] 취직을 못해[제1차 세계대전으로 인한 경제 공항] 어쩔 수 없이 수학과에 다시 편입한 어눌한 청년, 디랙. 이런 디랙을 끝내 성장시켜 케임브리지 대학(University of Cambridge) 교수로 받아들인 영국 사회도 대단하다.[물론 디랙이니까 가능한 일이다.] 물리학을 향한 디랙의 접근법은 수학적 단순함이었다. 복잡하게 표현된 자연 법칙을 수학을 이용해 집요하게 단순화시킨 디랙. 이 천재 물리학자 관점에서 보면, 전기 단극자[즉 전하]만 존재하는 맥스웰 방정식은 매우 이상하다.  맥스웰 방정식은 반드시 대칭적이어야 하므로, 자기 단극자[즉 자하]도 반드시 존재해야 한다. 존재의 이유가 있는 자기 단극자의 성질은 어떨가? 1931년디랙 29살, 일제 식민지 시절 디랙은 간단한 사고 실험을 이용해 자기 단극자가 가진 중요성을 체계적으로 증명했다. 디랙의 사고 실험을 따라 전기 및 자기 단극자의 관계를 증명해보자. 먼저 맥스웰 방정식의 쌍대성(duality)을 이용해 자기 단극자가 만드는 자기장을 표현하자.

                  (1)

여기서 $Q_e$, $Q_m$은 각각 전기 및 자기 단극자, $\bar R$ = $\bar r - \bar r'$. $Q_e$는 원점 $(0, 0, 0)$에 있고, $Q_m$은 원점에서 $z$축 방향으로 떨어진 $(0, 0, z_0)$에 있다고 가정하자. 그러면 전기장과 자기장은 다음처럼 기술된다.

                  (2)

아래에 제시한 전자파의 각운동량 밀도(angular momentum density)를 이용해 전체 각운동량(total angular momentum)을 구하면 식 (4)와 같다.

                       (3)

                  (4)

식 (4)의 최종 결과에 아래 벡터 항등식(vector identity)을 차례로 대입하면 식 (9)를 얻을 수 있다. 연산에 필요한 벡터 항등식은 다음과 같다.

                         (5)

                         (6)

                         (7)

식 (5)와 (6)에서 $\bar A \to \bar B$ 및 $f(r) = 1$로 치환한다. 다이애드(dyad)가 포함된 발산 관계식 (7)은  $\bar A \to \bar B$ 및 $\bar B \to \hat r$로 생각할 수 있다. 이 과정을 통해 최종적으로 구한 전체 각운동량은 다음과 같다.

                         (8)

여기서 다이애드에 대한 발산 정리(divergence theorem)를 사용했다. 식 (8)에 있는 적분 영역상의 체적이 무한대가 되도록 하면, 식 (2)에 의해 표면 적분은 0이 된다. 따라서 $\bar L_c$는 다음처럼 간략화된다.

                         (9)

여기서 자속 밀도의 발산은 디랙 델타 함수(Dirac delta function)를 이용해 다음처럼 표현한다.

                         (10)

양자 역학(quantum mechanics)에 의해 각운동량은 양자화되어야 하므로, 전기 및 자기 단극자의 곱은 반드시 다음 관계를 가져야 한다.

                         (11)

식 (11)이 의미하는 바는 분명하다. 전기 혹은 자기 단극자 중 하나는 반드시 양자화되어 이산적인 값을 가져야 한다. 만약 자기 단극자가 단 한 종류만 존재한다면 전기 단극자, 즉 전하는 식 (11)에 의해 이산화된다. 따라서 자기 단극자의 존재는 전자(electron)의 전하량이 이산적인 이유를 잘 설명한다.

[참고문헌]

[1] P. A. M. Dirac, "Quantised singularities in the electromagnetic field," Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, vol. 133, no. 821, pp. 60–72, Sept. 1931.

[2] R. G. Brown, Dirac Monopoles, Classical Electrodynamics, 2007.
[3] M. W. Ray, E. Ruokokoski, S. Kandel, M. Möttönen, and D. S. Hall, "Observation of Dirac monopoles in a synthetic magnetic field," Nature, vol. 505, pp. 657–660, Jan. 2014.