원통 좌표계의 MNL 함수(MNL Functions in Circular Cylindrical Coordinates)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "원통 좌표계의 MNL 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 원통 좌표계의 전자장 표현식
2. MNL 함수를 이용한 전자장 표현식
3. 데카르트 좌표계의 MNL 함수

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데카르트 좌표계의 MNL 함수 유도와 유사하게 기계적인 방법으로 원통 좌표계의 MNL 함수를 만들 수 있다. 먼저 다음의 일반적인 MNL 함수 정의식을 고려하자.

                      (1)

                       (2)

식 (1)과 (2)에서 MNL 함수의 생성 함수(generating function) $\psi$는 아래 식을 만족한다.

                      (3)

식 (2)에 있는 안내 벡터(piloting vector) $\bar p$는 다음 관계가 성립해야 한다.

                      (4)

원통 좌표계는 데카르트 좌표계의 $z$방향을 공유하고 있으므로 안내 벡터는 $\bar p = \hat z$라 생각하자. 그러면 데카르트 좌표계와 비슷하게 식 (1)은 원통 좌표계에서 다음처럼 표현된다.

                      (5)

                      (6)

그러면 마지막으로 우리가 해야 할 일은 식 (3)의 생성 함수 $\psi$를 정하는 일이다. 이 과정 자체는 무척 번거로운 과정이지만 이미 다음처럼 원통 좌표계에서 전자장 표현식을 얻었기 때문에 어렵지 않다.

                      (7)

여기서 $Z_n(\cdot)$는 $n$차 베셀 함수 혹은 한켈 함수이다.

만약 자유 공간을 통해 전파하는 전자파를 원통 좌표계에서 표현한다면 식 (7)은 다음처럼 표현할 수 있다.

                      (8)

식 (8)을 식 (5)와 (6)에 넣고 정리하면 다음과 같다.

                      (9)

         (10)

자유 공간의 경계 조건(boundary condition)은 복사 조건(radiation condition) 밖에는 없으므로 식 (9)와 (10)은 전기장(electric field)이나 자기장(magnetic field)을 마음대로 표현할 수 있다. 따라서 임의의 전기장과 자기장은 원통 좌표계 함수의 완비성(completeness of function in circular cylindrical coordinates)을 이용해 다음과 같이 표현된다.

                      (11)

여기서 $A_n (\zeta)$, $B_n (\zeta)$는 각각 $z$방향에 대한 TE(Transverse Electric)와 TM(Transverse Magnetic) 모드(mode)의 계수이다. 식 (2)에 있는 $\bar L$ 함수는 자유 공간에서는 의미가 없다. 이를 확인하기 위해 $\bar L$ 함수에 발산(divergence)을 취해보자.

                       (12)

즉, 생성 함수 $\psi$는 0이 아니기 때문에 $\bar L$ 함수의 발산도 0이 아니다. $\bar L$이 식 (11)처럼 전기장이나 자기장을 표현한다면 전하(electric charge)나 자하(magnetic charge)가 없는 전기장과 자기장의 발산은 반드시 0이 되어야 하므로 $\bar L$은 자유 공간의 전자장 표현식에 사용되면 안된다.

[다음 읽을거리]
1. 구 좌표계의 MNL 함수