구 좌표계의 MNL 함수(MNL Functions in Spherical Coordinates)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "구 좌표계의 MNL 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 구 좌표계의 전자장 표현식
2. MNL 함수를 이용한 전자장 표현식
3. 데카르트 좌표계의 MNL 함수
4. 원통 좌표계의 MNL 함수

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데카르트 좌표계와 원통 좌표계의 MNL 함수 유도법을 이용하면 구 좌표계(spherical coordinate system)의 MNL 함수도 기계적으로 쉽게 구할 수 있다. 구 좌표계에서 정한 MNL 함수는 벡터 구면파 함수(vector spherical wave function)라고도 부른다. 다만 식 (1)에 제시한 안내 벡터(piloting vector) $\bar p$는 데카르트 좌표계 혹은 원통 좌표계[$\bar p = \hat z$]와는 다르게 정한다.

                      (1)

물론 $\bar p = \hat z$라고 해도 되지만 구 좌표계 $(r, \theta, \phi)$에서 $z$축 단위 벡터(unit vector)는 다음처럼 복잡하게 표현되므로 권장하지 않는다.

                       (2)

그러면 단순하게 안내 벡터는 $r$의 함수라 가정하여 $\bar p = f(r) \hat r$을 식 (1)에 대입해 식 (7)처럼 계산해 보자.

                         (3)

                       (4)

                       (5)

            (6)

                      (7)

따라서, $r \ne 0$인 경우 구 좌표계를 위한 가장 단순한 안내 벡터는 위치 벡터(position vector)로 정의한다.

                      (8)

다음으로 할 일은 구 좌표계에 대한 스칼라 생성 함수(scalar generating function) $\psi$ 찾기이다.

                      (9)

구 좌표계의 파동 함수는 악(?)소리나게 복잡하지만, 구 좌표계의 전자장 표현식(electromagnetic field representations in spherical coordinates)을 이용하기 때문에 큰 문제는 없다. 장애물이 없는 3차원 공간의 구 좌표계 자기 벡터 포텐셜 $A_r$ 표현식은 다음 형태를 가진다.

                       (10)

                       (11)

식 (11)을 이용해서 구 좌표계의 스칼라 생성 함수 $\psi_{nm}$를 정하면 다음과 같다.

                       (12)

식 (12)에 있는 구면 베셀 함수(spherical Bessel function)는 리카티–베셀 함수(Riccati–Bessel function)와 다음 관계를 가지고 있다.

                       (13)

여기서 $z_n(x)$는 구면 베셀 함수(spherical Bessel function)이다. 이 다음부터는 기계적으로 MNL 함수를 구하면 된다.

                       (14)

여기서 다음 관계가 성립한다.

                       (15)

따라서 MN 함수는 다음처럼 표현된다.

                  (16a)

                  (16b)

                      (17)

여기서 $P_n^{m \prime}(x)$ = $d P_n^m(x) /dx$이다. 식 (12)를 식 (17)에 대입해 조금 더 정리하면 다음과 같다.

                      (18a)

                      (18b)

여기서 $\hat H_n^{(1) \prime}(x)$ = $d \hat H_n^{(1)}(x) /dx$이다. 식 (16)과 (18)을 고려하면 자유 공간 상의 전기장과 자기장은 다음 형태로 표현되어야 한다. 물론 구 좌표계 함수의 완비성(completeness of function in spherical coordinates)이 성립하기 때문에 아래 식은 임의의 전기장과 자기장을 표현할 수 있다.

                      (19)

                      (20)

여기서 $A_{nm}$과 $B_{nm}$은 각각 $r$방향에 대한 TE$_{nm}$과 TM$_{nm}$ 모드의 계수이다.

아직 구하지 않은 함수 $\bar L$의 모드 계수는 0이 되어야 한다. 이를 확인하기 위해 $\bar L$ 함수에 발산(divergence)을 취해보자.

                       (21)

즉, 생성 함수 $\psi$는 0이 아니기 때문에 $\bar L$ 함수의 발산도 0이 아니다. $\bar L$이 전기장이나 자기장을 표현한다면 전하(electric charge)나 자하(magnetic charge)가 없는 전기장과 자기장의 발산은 반드시 0이 되어야 하므로 $\bar L$은 자유 공간의 전자장 표현식에 사용되면 안된다.