복소수(複素數, Complex Number)

[동영상]
1. Derek Owens - Math and Physics: Algebra 2 - Complex Numbers

[그림 1] 복소 평면에 표시한 복소수(출처: wikipedia.org)

실수(實數, real number)는 연산이 잘 정의되어 있어서 별생각 없이 사칙 연산과 대수(代數, algebra)를 적용해도 잘 틀리지 않는다. 그러나 실수와 허수를 합쳐서 구성한 복소수(複素數, complex number)는 식 (1)의 규칙에 따라 계산을 해야 원하는 답을 얻을 수 있다.

                              (1)

숙달이 되면 그리 어렵지 않지만, 식 (1)의 규칙으로 인해 초보자는 복소수 연산을 제대로 하지 못할 때가 많다. 복소수를 정복하기 위해 식 (1)처럼 $i$와 $i$가 곱해지면 실수 $-1$로 바꾸는 교체를 꼭 기억한다. 이 규칙만 기억하면 복소수 계산은 실수 계산과 거의 동일하다. 하지만 이런 복잡한 숫자인 복소수는 도대체 왜 사용할까? 2차 방정식(二次方程式, quadratic equation: $ax^2+bx+c$ = $0$)의 해(解, solution)를 구할 때 실수만 고려하면 해가 존재하지 않는 문제가 발생하기 때문에 모든 2차 방정식의 해를 항상 찾을 수 있도록 도입한 상상의 수가 복소수이다. 즉 식 (2)를 만족하는 새로운 수를 찾으면 식 (1)에 제시한 $i$ = $\sqrt{-1}$란 상수가 된다.

                              (2)

여기서 식 (1), (2)와 같은 수를 허수(虛數, imaginary number)라고 부르며, 실수가 0임을 강조해서 순허수(pure imaginary number)라고도 한다. 특히 식 (1)에 있는 $i$는 허수 단위(imaginary unit)라 부른다. 실수는 항상 같은 수를 곱하면 0보다 크거나 같으므로 실수 범위내에서 식 (2)는 틀린 부등식이다. 그렇지만 2차 방정식[$ax^2+bx+c$ = $0$]에는 식 (2)의 첫째 줄과 같은 경우가 생길 수 있다.[예를 들면, $x^2 + 1$ = $0$ $\Rightarrow$ $x^2$ = $-1$처럼 제곱한 값이 0보다 작은 경우이다.] 식 (2)와 같이 원식을 변형해 가고 식 (1)의 허수를 상수처럼 취급하면 식 (2)의 셋째 줄은 논리적으로 의미 있는 부등식이 된다. 왜냐하면 제곱한 값이 0보다 크기 때문이다. 따라서 $ix$는 실수값이 되므로 식 (2)의 답($x$)은 0을 제외한 허수축에 있는 모든 수이다.[∵ $x$가 실수라면 $ix$는 실수가 될 수 없다. 따라서 $x$는 실수 이외의 수이다.] 하지만 복소수 자체는 식 (2)의 첫째 줄 같이 제곱한 값이 0보다 작아서 부등식 자체가 성립하지 않기 때문에 복소수는 크기 비교를 할 수 없다.[∵ 크기 비교는 실수축에서만 한다. 그림 1을 보면 허수축은 원점 좌우가 아닌 위아래에 존재한다. 허수는 크지도 작지도 0도 아니다.] 즉, 식 (1)의 상수는 0보다 크지도 않고 0보다 작지도 않다. 그렇다고 0이지도 않다. 그래서 허수 단위 $i$는 크기를 정할 수 없다. 만약 식 (1)의 상수가 0보다 크다고 가정하고 식 (1)의 상수를 서로 곱하면 0보다 커야 하나 0보다 작다. 반대로 식 (1)의 상수가 0보다 작다면 서로 곱한 수도 여전히 0보다 커야 하나 0보다 작아진다. 식 (1)의 허수 단위는 부등식이 맞지 않는 이상한 수이다.[단순하게 보면 $i$가 양수든 음수든 $i \times i$는 0보다 작아 논리적으로 모순이다.] 또한 복잡하게 새로운 기호 $i$를 도입하기보다 $\sqrt{-1}$을 사용하기가 더 쉬울 것 같다. 그러나 $\sqrt{-1}$을 이용해 다음 계산을 하면 복소수 계산의 오류가 생길 수 있다.

   

그래서 $\sqrt{-1}$로 쓰지 않고 기호 $i$를 이용해 다음처럼 복소수 계산을 해야 한다.

   

복소수[$z$ = $x + yi$] 정의에 쓰이는 식 (1)의 $i$ = $\sqrt{-1}$을 단순 상수(常數, constant)라고 가정하면 실수와 동일하게 교환 법칙, 결합 법칙, 분배 법칙이 성립한다. 이때 실수와 차이나는 부분은 식 (1)이 성립한다는 가정이다. 이를 이용하여 복소수의 사칙 연산을 계산하자.

• 실수배

                              (3)

• 덧셈

                              (4)

• 뺄셈

                              (5)

• 켤레 복소수(complex conjugate)

                              (6)

   $\Re(z)$ = $x$ = $(z + z^*)/2$: 실수부(real part)
   $\Im(z)$ = $y$ = $(z - z^*)/(2i)$: 허수부(imaginary part)

옛날에는 켤레 복소수를 공액(共軛) 복소수로 불렀다. 지금은 순우리말인 켤레를 주로 쓴다. 켤레 복소수의 기호로 $z^*$ 대신 $\bar z$를 쓰기도 한다.

• 곱셈

                              (7a)

복소수 곱셈에는 4번의 곱셈과 2번의 덧셈[뺄셈 포함]이 쓰인다. 곱셈은 덧셈보다 연산량이 많아서 빠른 곱셈(fast multiplication)을 하려면 곱셈 회수를 줄여야 한다. 분할 정복(divide-and-conquer)을 사용하는 카라추바 알고리즘(Karatsuba algorithm)을 복소수에 적용한 경우, 곱셈 회수는 3번으로 줄어든다.

                              (7b)

실수 곱셈 회수를 줄인 식 (7b)의 복소수 곱셈은 고속 푸리에 변환(fast Fourier transform, FFT)의 가속화에 유용하게 사용된다. 곱셈 회수 2번으로는 복소수의 실수배만 가능하므로, 3번의 곱셈은 복소수 곱셈을 표현할 수 있는 최소 총수이다[1]. 다만 [그림 2]와 식 (21)에서 소개하는 극형식(polar form)은 명시적으로 2번의 곱셈만 보이지만, 복소 지수 함수에 이미 삼각 함수가 포함되므로 단순한 2번의 곱셈으로 볼 수 없다.

• 나눗셈

                              (8)

복소수의 나눗셈도 식 (7b)처럼 카라추바 알고리즘으로 빠르게 계산할 수 있다. 예를 들어, 켤레 복소수를 표현하기 위해 식 (7b)에서 $y_1$ 대신 $-y_1$을 넣으면 식 (8)의 분자가 얻어진다.

• 절대값(absolute value)

복소수 $z$의 절대값 $|z|$은 [그림 1]에 있는 복소 평면(complex number) 상의 원점에서 $z$ = $(x, y)$까지 거리 혹은 크기(magnitude)를 의미하며 실수(real number)이다.

                              (9)

• 편각(偏角, argument)

[그림 2]처럼 복소 평면 상의 실수축에서 복소수 $(x, y)$까지 잰 각도 $\phi$는 복소수 $z$의 편각 $\operatorname{arg}(z)$라 부른다. 복소수의 편각도 복소수의 절대값 혹은 크기처럼 실수이다.

                              (10)

여기서 $\operatorname{atan2}(\cdot)$는 2변수 탄젠트 역함수(2-variable arctangent function)이다. 편각의 범위는 보통 $(-\pi, \pi]$로 잡는다.

• 원에 대한 역수(inverse for circle)

반지름이 $R$인 원에 대한 복소수의 역수(inverse of complex number) $z_i$는 다음처럼 정의한다.

                              (11)

만약 $z$가 원의 내부에 있다면, $|z| < R$이 성립한다. 그래서 식 (11)에 의해 $z_i$의 크기는 항상 $R$보다 크며 $z_i$는 원의 외부에 존재한다. 다만 $z_i$와 $z^*$의 편각은 부호가 서로 반대이고, $z$와 $z_i$의 편각은 서로 같다. 왜냐하면 두 복소수의 곱이 실수가 되려면 식 (9)처럼 편각의 부호가 서로 반대되어야 하기 때문이다.

복소수의 나눗셈은 행렬을 사용하여 새롭게 정의할 수도 있다.

                              (12)

복소수 $w$ = $x_w + y_w i$인 경우 나눗셈 (12)의 우변을 행렬(行列, matrix)로 표현하면 식 (13)이 된다.

                              (13)

식 (13)을 이용하여 $w$를 구하려면 역행렬(逆行列, inverse matrix)을 취하면 된다.

                              (14)

식 (14)를 계산하면 식 (8)의 결과를 얻을 수 있다.

실수 계산에 익숙한 사람에게 식 (3)에서 (9)까지는 별 감흥이 없다. 단지 $i \cdot i$ = $i^2$이 출현하는 경우, 식 (1)의 규칙에 의해 $-1$로만 단순히 바꾸면 된다. 잘 생각해보면, 복소수를 아름답게 만드는 조건은 전혀 다른 곳에 있다. 숫자 계산이 아니고 실수 함수를 복소 함수(complex function)로 확장할 때 간결하며 아름다운 이론이 출현한다. 먼저 $\exp, \sin, \cos$ 함수에 대한 테일러 급수를 아래와 같이 계산하자.

                         (15)

                         (16)

                         (17)

식 (15)–(17)에서 $-1$ = $i \cdot i$ = $i^2$로 바꾸면, 다음에 제시하는 놀라운 공식 하나를 얻을 수 있다.

                         (18)

오일러의 공식(Euler's formula)이라 부르는 식 (18)은 1748년오일러 41세, 조선 영조 시절에 오일러Leonhard Euler(1707–1783)가 식 (15)에서 (17)까지의 무한 급수를 비교하여 증명한 공식이다. 복소수를 지수(指數, exponent)에 넣어서 만든 숫자 놀음이 식 (18)이라 생각할 수도 있지만, 오일러 공식은 그 이상의 의미를 가진다. 오일러 공식이 여는 새로운 세상중 하나가 복소 함수(complex function)이다. 지수는 어떤 숫자를 몇 번 곱하는지 혹은 나누는지를 표기하는 방법이므로, 지수는 복소수가 될 수 없다. 하지만 테일러 급수를 이용하면 지수가 복소수도 포함하도록 지수 함수를 재정의할 수 있다. 복소 지수 함수(complex exponential function)는 분명 지수의 특성을 가지고 있지만, 복소수인 지수는 곱하거나 나누어도 함수의 크기는 커지지 않고 함수의 편각(偏角, argument)[그림 2에 있는 $\phi$]만 바뀐다. 이와 같이 실수에서 정의한 실 함수(real function)를 기반으로 정의역의 범위를 복소수까지 확장하면, 실수 결과를 포함하면서도 이전과는 다른 확장된 개념이 생긴다. 이런 접근법을 극단으로 가져가면 복소 함수론 혹은 복소 해석학(complex analysis)에 이를 수 있다.
식 (18)은 다음과 같은 적분을 통해서도 증명이 가능하다. 먼저 식 (19)는 탄젠트 역함수의 미분으로 쉽게 적분할 수 있다. 식 (20)은 복소수까지 확장한 로그 함수의 미분을 고려해서 증명한다. 

                         (19)

                         (20)

여기서 $x$ = $\tan \phi$, $\log(\cdot)$는 자연 로그(natural logarithm), 적분 상수는 편의상 생략한다. 식 (19)와 (20)은 동일한 함수를 다른 방법으로 적분한 결과이므로, 서로 같아야 한다. 따라서 식 (19)와 (20)의 마지막식을 $\phi$에 대해 풀어서 $\log(\cos \phi + i \sin \phi)$ = $i \phi$를 얻는다. 최종적으로 양변에 지수 함수 $\exp(\cdot)$를 적용해서 식 (18)을 증명한다. 요한 베르누이Johann Bernoulli(1667–1748)가 1702년베르누이 35세, 조선 숙종 시절에 고려한 적분 (19)와 (20)은 이후 오일러도 고민하던 적분이다.[요한 베르누이는 야곱 베르누이의 동생이며 오일러의 스승이기도 하다.] 하지만, 식 (20)의 로그 함수는 주어진 $x$에 대해 여러 값을 가지므로[∵ 식 (19)의 우변이나 식 (20)의 마지막 줄은 각도이므로 360˚의 배수를 항상 가질 수 있다.] 오일러도 큰 의미를 두지 않다가 1748년오일러 41세, 조선 영조 시절에 무한 급수를 이용하여 정확하게 식 (18)을 증명했다. 식 (20)의 로그 함수가 가진 다가성(多價性, multi-valuedness)은 복소 함수의 영역 제한을 통해 후대에 해결되었다. 식 (18)에 있는 편각 $\phi$를 변화시키면 $\phi$ = $0$일 때는 $\exp(0)$ = $1$이 된다. 또한 $\phi$ = $\pi/2$[= 90˚]로 바뀌면 $\exp(i \pi/2)$ = $i$가 된다. 그래서 $1$과 $i$는 90˚ 차이를 가지고 있어서 [그림 1]과 같이 실수축과 허수축이 직교하는 복소 평면에 쉽게 나타낼 수 있다. 또한 [그림 2]는 크기가 $1$인 복소수를 오일러 공식 관점에서 새롭게 표현하는 방식이라서, [그림 2]는 복소수를 보여주는 새로운 기법이 될 수 있다. 우리가 직관적으로 복소수를 생각해보면, [그림 1]과 같은 복소수의 실수부와 허수부가 편하다.[$z$ = $x + yi$] 기존과 조금 다르게 오일러 공식에 의해 도입된 편각 $\phi$를 크기와 함께 사용할 수도 있다. [그림 2]처럼 복소수의 크기와 편각을 이용해 복소수를 나타내는 새로운 방식은 복소수의 극형식(極形式, polar form)이라 부른다.[$z$ = $|z|e^{i \phi}$] 극형식은 복소수의 복잡한 곱셈과 나눗셈을 다룰 때에 정말 편리하다.

[그림 2] 크기와 편각을 가진 복소수(출처: wikipedia.org)

[그림 1, 2]처럼 복소수는 평면 상의 한 점을 표현하기 때문에 [그림 3]과 같이 복소수에 기하학적 의미를 부여할 수 있다.

(a) 덧셈: $X = A + B$

(b) 곱셈: $X$ = $A \cdot B$

(c) 켤레 복소수: $X$ = $A^*$

[그림 3] 복소수의 기하학적 표현(출처: wikipedia.org)

[그림 3(a)]는 마치 힘의 합성 법칙과 유사하다. 복소수 덧셈의 이런 기하학적 성질로 인해 복소수를 이용하면 2차원 벡터(vector)를 표현할 수 있다. 3차원 벡터를 표현하려면 사원수(四元數, quaternion)를 사용해야 한다. [그림 3(b)]는 최종 결과인 $X$의 회전으로 표현한다. 오일러 공식을 이용하면 곱셈과 나눗셈은 다음과 같은 회전특성을 가진다.

                         (21)

                         (22)

식 (21)과 (22)를 보면 곱셈인 경우는 편각이 서로 더해지며[혹은 양의 방향으로 회전하며], 나눗셈인 경우는 편각이 서로 빼진다.[혹은 음의 방향으로 회전한다.]

복소수의 복소수 거듭제곱 $i^i$는 얼마일까? 오일러 공식인 식 (18)을 $i^i$에 적용하면 아주 놀라운 결과가 얻어진다. 아래 식 (23)을 보면, 답은 의외로 실수이다.

                         (23)

그런데 식 (23)은 문제가 하나 있다. 각도 90˚[= $\pi/2$]가 나타내는 방향은 360˚의 배수를 임의로 더한 방향과 동일하다. 이로 인해 식 (23)의 답은 한 개가 아니고 식 (24)와 같이 무한 개가 된다. 이런 함수의 다가성은 복소 함수론의 오묘한 부분이다.

                         (24)

여기서 $m$은 임의의 정수이다. 정수 $m$ = $0$인 경우가 식 (23)이다.

   1. 기본(basics)   

[그림 1.1] 부호 함수(출처: wikipedia)

[드 무아브르의 공식]

                         (1.1)

[증명]

식 (18)의 오일러 공식을 이용하면 드 무아브르의 공식(de Moivre's formula)을 쉽게 증명할 수 있다.

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식 (1.1)에서 조심할 부분은 $n$이 정수가 아니면 성립하지 않음이다. $n$이 정수가 아니면 다가성(多價性, multi-valuedness)을 반드시 고려해야 한다. 거듭 제곱 함수의 다가성을 좀더 이해하기 위해 $\sqrt{z}$를 생각해보자.

                        (1.2)

복소수 $z$의 편각[= $\phi$]이 360˚ 범위에 있는지 720˚ 범위에 있는지에 따라[한 바퀴를 돌든지 두 바퀴를 돌든지 실제 편각은 동일하다.] 위 제곱근 함수의 최종 답은 $+1$이 곱해질 수도 있고 $-1$이 곱해질 수도 있다. 즉, 하나의 입력에 답은 두 개가 나오는 괴상한 형태가 된다. 이 문제를 해결하려면 편각의 범위를 720˚ 범위로 넓히고 복소수 $z$의 편각이 720˚ 범위에서 어디에 있는지 반드시 표시해야 한다. 또한 제곱근 함수의 실수부를 ($+$)로 택한 경우 다음 관계식이 성립한다.

[복소수의 제곱근]

             (1.3)

여기서 $\text{sgn}(y)$는 $y$의 부호를 택하는 [그림 1.1]의 부호 함수(sign function)이다.

[증명: 양변 제곱]

다음처럼 식 (1.3)의 양변을 제곱해 정리하면 좌변과 우변이 같음을 쉽게 증명할 수 있다.

                     (1.4)

[증명: 삼각 함수의 반각 공식]

추가적으로 식 (1.3)은 식 (1.2)에 삼각 함수의 반각 공식을 적용해 유도할 수도 있다. 편하게 증명하기 위해 $\phi$의 각도 범위를 제한하여 다음 계산을 수행하자.

          (1.5)

여기서 $\phi$ = $\operatorname{arg}(x+iy)$이다.

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오일러의 공식인 식 (18)과 등비 급수(geometric series)를 이용하면 복소 지수 함수의 합을 다음처럼 구할 수 있다.

[복소 지수 함수의 합]

                          (1.6)

[증명]

식 (1.6)을 유도하기 위해 오일러 공식인 식 (18)을 적용하여 계산한다.

                          (1.7)

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[라그랑주의 삼각 항등식]

                          (1.8)

                          (1.9)

[증명]

식 (1.6)의 실수부(real part)를 택하면 코사인 함수(cosine function)의 합을 얻는다. 마찬가지로 식 (1.6)에서 허수부(imaginary part)만 취하면 다음 사인 함수(sine function)의 합을 증명할 수 있다.

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식 (1.8)과 (1.9)는 라그랑주의 삼각 항등식(Lagrange's trigonometric identity)이라 한다. 이번에는 식 (1.6)을 이용해 홀수에 대한 유한 급수를 구한다.

                          (1.10)

식 (1.10)의 실수부와 허수부를 선택해서 홀수에 대한 라그랑주의 삼각 항등식도 정의한다.

[홀수에 대한 라그랑주의 삼각 항등식]

                          (1.11)

식 (1.11)처럼 홀수나 짝수에 대한 유한 급수는 식 (1.8), (1.9)보다 간단해진다.

[참고문헌]

[1] S. Winograd, "On the number of multiplications necessary to compute certain functions," Commun. Pure Appl. Math., vol. 23, no. 2, pp. 165–179, Mar. 1970.

[다음 읽을거리]

1. 사원수

2. 정말 유용한 페이저 개념

3. 행렬

4. 복소 함수론의 이해