르장드르 타원 적분(Legendre Elliptic Integral)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "르장드르 타원 적분"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 타원의 방정식

타원(楕圓, ellipse)의 둘레 길이에 등장하는 적분과 관계되어 풍성한 결과를 도출하는 특수 함수(special function)가 르장드르 타원 적분(Legendre elliptic integral)이다. 수학자 르장드르Adrien-Marie Legendre(1752–1833)가 먼저 분류하고 많은 아름다운 결과를 만들어서 자연스럽게 르장드르 타원 적분이라 부른다. 다만 요즘은 르장드르 타원 적분을 더 일반화해서 다음과 같은 유리 함수(有理函數, rational function)[다항식의 분수비 $P(x)/Q(x)$로 표시되는 함수]와 무리 함수(無理函數, irrational function)[근호(根號, radical sign)를 포함해서 유리 함수 $R(x)$로 표시될 수 없는 함수]를 포함한 모든 경우를 묶어서 타원 적분(elliptic integral)이라 한다.

                  (1)

여기서 $R(\cdot)$은 임의의 유리 함수, $P(t)$는 임의의 다항식(多項式, polynomial)이다.
르장드르는 제1종 완전 타원 적분(complete elliptic integral of the first kind)을 다음처럼 정의했다.

                  (2)

여기서 $k$는 타원비(楕圓比, elliptic modulus) 혹은 이심률(離心率, eccentricity)이다. 식 (2)에서 $t = \sin \theta$로 변수 치환하면 다음을 얻는다.

                  (3)

제1종 완전 타원 적분의 구간 끝이 $\pi/2$가 아니고 임의라면 다음에 제시한 제1종 불완전 타원 적분(incomplete elliptic integral of the first kind)을 정의할 수 있다.

                  (4)

식 (4)를 르장드르 정규형(Legendre normal form)으로 쓰면 다음과 같다.

                  (5)

여기서 $x = \sin \varphi$이다. 식 (2)와 (4)를 보면, $K(k) = F(\pi/2, k)$가 성립한다.
타원의 둘레 길이에 해당하는 타원 적분은 제2종이다.[타원의 장축 길이가 $2a$일 때, 둘레 길이는 $4aE(k)$이다.] 다음 제2종 완전 타원 적분(complete elliptic integral of the second kind)을 보자.

                  (6)

식 (6)에도  $t = \sin \theta$인 변수 치환을 적용하면 다음 식이 된다.

                  (7)

제2종 불완전 타원 적분(incomplete elliptic integral of the second kind)은 다음처럼 표기한다.

                  (8)

                  (9)

제1종 타원 적분과 유사하게, $E(k) = E(\pi/2, k)$가 된다.
타원 적분이란 명칭은 당연히 타원과 관계되므로, 타원의 둘레 길이와 관계된 적분이 제1종일 것 같다. 하지만 우리 예상과 다르게 타원의 둘레 길이는 제2종 완전 타원 적분으로 계산한다. 여기에는 어떤 사연이 숨어 있을까? 정확한 유래는 타원 적분을 분류한 르장드르만 알 것이다. 수학사를 바탕으로 대충 유추해보자. 타원은 고대 그리스부터 고민한 2차 곡선이라서 연구가 이미 많이 되었다. 더구나 타원의 둘레 길이를 표현하는 적분도 오일러Leonhard Euler(1707–1783)가 1750년오일러 43세, 조선 영조 시절에 이미 살펴봤다. 이 상황에서 제2종 완전 타원 적분은 르장드르에게 특별한 관심이 없었을 것이다. 르장드르가 정말 고민했던 적분은 단진자(單振子, simple pendulum) 운동과 관계된 제1종 완전 타원 적분이다. 즉 르장드르의 연구 관심에 따라 단진자의 주기를 표현하는 식 (2)가 제1종이 되었다.

식 (1)에 있는 타원 적분을 복소 평면의 선 적분으로 확장해서 다음처럼 일반화하면 아벨 적분(Abelian integral)이 된다.

                  (10)

여기서 $R(\cdot)$은 $z, w$에 대한 유리 함수이다. 다만 아벨 적분의 피적분 함수 $R(z, w)$는 2변수 함수가 아니고, $z$와 $w$의 관계는 다음과 같은 대수 함수(algebraic function) $F(z, w)$를 통해 표현된다.

                  (11)

여기서 $r_k (z)$[$k$ = $0, 1, \cdots, n$]는 임의의 유리 함수이다. 또한 대수 함수 $F(z, w)$는 $w$에 대해 기약 다항식(irreducible polynomial) 조건도 만족해야 아벨 적분에 쓰일 수 있다. 기약 다항식은 인수 분해에 의해 더 작은 차수를 가진 다항식의 곱으로 표현될 수 없는 다항식이다. 그래서 아벨 적분에 나온 $F(z, w)$ = $0$이란 조건은 인수 분해에 의해 더 낮은 차수의 곱으로 분해될 수 없다. 기약 다항식을 만족하는 대수 함수를 $F(z, w)$ = $w^2 - P(z)$라 두면, $w = \pm \sqrt{P(x)}$가 된다. 이 관계를 식 (10)에 대입하면, 아벨 적분은 바로 식 (1)에 나온 타원 적분이 된다. 즉 아벨 적분은 대수 함수를 도입해서 타원 적분을 포함한 더 넓은 적분을 표현할 수 있다. 또한 $F(z, w)$ = $w^2 - P(z)$에서 $P(z)$는 제곱 인수 없는 다항식(square-free polynomial)이면서 다항식의 차수가 4보다 크면, 아벨 적분은 초타원 적분(超楕圓 積分, hyperelliptic integral)이 된다. 여기서 $P(z)$는 어떤 다항식의 제곱으로 표현되지 않아서 식 (1)의 제곱근이 적분에 계속 남아 있다.

[참고문헌]

[1] J. R. Culham, Elliptic Integrals, Elliptic Functions and Theta Functions, Special Functions, University of Waterloo, 2004. (방문일 2020-06-21)

[다음 읽을거리]
1. 단진자의 운동 방정식