삼각 함수의 합차 공식(合差公式, Angle Sum and Difference Identity)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "삼각 함수의 합차 공식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 삼각 함수

삼각 함수의 합차 공식(angle sum and difference identity)은 예전 이과반 고등학생을 괴롭히는 매우 복잡한 공식이다. 이 공식을 굳이 배우는 이유는 삼각 함수를 미분하기 위해서이다. 먼저 삼각 함수의 합차 공식을 외울 수 있는 쉬운 방법을 생각해 보자. 아래 오일러의 공식(Euler's formula)을 이용하면 삼각 함수 합차 공식을 잊지 않고 계속 기억할 수 있다.

                         (1)

식 (1)의 오일러 공식을 이용하면 아래식이 얻어진다.

                       (2)

식 (2)의 실수부와 허수부를 각각 비교하면 아래의 삼각 함수 합차 공식을 쉽게 암기할 수 있다.

                        (3)

여기서 조심할 부분이 있다. 식 (2)는 삼각 함수 합차 공식의 증명이 아니다. 쉽게 외우기 위한 수단일 뿐이다. 오일러 공식을 증명할 때 삼각 함수의 미분을 썼고 삼각 함수의 미분은 삼각 함수 합차 공식을 필요로 하기 때문에 식 (2)를 이용해 식 (3)을 증명하기는 동어 반복이다. 따라서 식 (3)의 증명은 다음처럼 해야 한다.

[증명: 기하학]

[그림 1] 합차 공식 증명을 위한 사각형

삼각 함수 정의를 활용하면 [그림 1]을 통해 합차 공식을 쉽게 증명할 수 있다. [그림 1]에 표시한 길이를 $x$축과 $y$축 관점으로 합하면 아래식을 얻는다.

                       (4)

[증명: 벡터 내적]

2차원 벡터의 내적(內積, inner product)을 이용해서도 합차 공식을 쉽게 증명할 수 있다[1]. 임의의 2차원 벡터를 $\bar a, \bar b$라 하자.

                          (5)

식 (5)를 이용해서 내적을 계산하면 아래식을 얻는다.

                       (6)

[그림 2] 사각형으로 합차 공식을 증명(출처: wikipedia.org)

[증명: 사각형]

[그림 1]에 있는 직사각형을 아예 큰 직사각형 안으로 넣으면 [그림 2]가 된다. 두 삼각형의 각을 $\alpha, \beta$라 한 후, 유클리드 기하학(Euclidean geometry)을 이용해 직사각형 안에 있는 네 직각 삼각형의 변 길이를 결정한다. 직사각형에서 좌변과 우변의 길이가 같으므로, $\sin (\alpha + \beta)$ 공식을 증명할 수 있다. 또한 위변과 아래변의 길이가 같아서 $\cos (\alpha + \beta)$ 공식도 얻을 수 있다. 

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삼각 함수의 합차 공식을 이용하면 삼각 함수의 미분을 쉽게 구할 수 있다.

[사인 함수의 미분]

                          (7)

[증명]

                          (8)

여기서 삼각 함수 항등식(trigonometric identity)에 의해 $1-\cos h = 2 \sin^2 (h/2)$, $\lim_{h \to 0} 2 \sin^2 (h/2)/h$ = $\lim_{h \to 0} \sin (h/2)$ $\lim_{h \to 0} \sin (h/2)/(h/2)$ = $0$이다.

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[코사인 함수의 미분]

                          (9)

[증명]

식 (7)에서 $x \to x + \pi /2$를 하면 식 (9)가 증명된다.

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식 (8)의 증명에서 모호한 부분이 하나 있다. 함수 $\sin h/h$의 극한이 1임을 어떻게 알 수 있나? 사실 라디안(radian)을 사용하는 이유가 여기에 있다.

[$\sin h/h$의 극한]

                          (10)

[증명]

                        (11)

여기서 원의 반지름 $r = 1$이라 단순화했다. 또한 라디안 정의는 아래와 같다.

                        (12)

여기서 $l$은 호의 길이(arc length), $r$은 반지름(radius), $\theta$는 라디안으로 정의한 각도, $\vartheta$는 $360^\circ$ 기준 각도이다. 정성적으로 식 (11)을 이해하기는 쉽다. 식 (11)의 의미는 $x = 1$ 근방으로 계속 접근하면 호 길이는 접선 길이와 일치함이다.[혹은 돋보기로  $x = 1$ 근방을 계속 확대한다고 가정해보라. 그러면 호는 직선으로 보이며 결국은 접선과 같아진다.] 이를 더 구체적으로 알아보기 위해 각도[= $\theta$]가 $0$으로 가는 지점의 접선 방정식을 구해보자.

                          (13)

즉 $\theta = 0$ 근방에서는 $y$축에 평행한 선이 접선이며 호의 길이 $l$은 $y$와 동일하게 변하게 된다. 이 개념을 수학적으로 더 다듬어 보자. $\theta = 0$[$y = 0$ 혹은 $x = 1$] 근방의 호 길이를 의미하는 길이 미분소(length differential) $ds$[선적분(line integral)에 쓰는 바로 그 $ds$]는 식 (13)을 이용하여 아래와 같이 유도한다. 먼저 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)를 이용하면 2차원 평면에 있는 선분의 길이는 다음과 같은 차분[= $\Delta s$]으로 근사 가능하다. 차분 $\Delta s$에 극한(limit)을 취하면 다음과 같은 미분 결과를 얻을 수 있다.

                       (14)

여기서 $t$는 2차원 평면의 선분 궤적 $(x, y)$을 표현하는 매개변수(parameter)이며 $x, y$는 서로 직교하므로 $t$에서 $t + \Delta t$로 변할 때 얻어지는 선분 길이[= $\Delta s$]는 피타고라스 정리로 구할 수 있다. 그러면 원의 특성을 이용해 다음을 유도할 수 있다.

                       (15)

여기서 단위원 상에 있는 점 $(x, y)$는 $x^2 + y^2$ = $1$을 만족하고 미분 관계인 $x dx + y dy$ = $0$도 성립한다. 또한 식 (15)에서 $x = 1$이라 두면 $ds = dy$가 되므로 식 (11)이 증명된다. 혹은 $\theta = 0$ 근방에서는 호의 길이를 식 (15) 처럼 직선으로 간주할 수 있으므로 아래 관계를 통해 증명할 수도 있다.

                       (16)

여기서 $l$은 $(x, y)$와 (1, 0)와의 직선 거리로 정의했으며 $(x, y)$는 반지름이 $1$인 원 위에 있는 점이다.

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정석대로 해석학의 도움을 받으면 조임 정리(squeeze theorem)를 이용해 식 (10)을 쉽게 증명할 수도 있다. 하지만 우리 목표는 아주 초보적인 개념을 이용해 수학 기초를 이해하기이므로 의도적으로 조임 정리를 사용하지 않았다. 이런 의문도 가져볼 만 하다. 식 (10) 증명을 왜 이렇게 어렵게 할까? 테일러 급수나 로피탈의 규칙(L'Hopital's rule)을 쓰면 쉽지 않을까? 다시 말하지만 우리는 삼각 함수의 미분을 하고 있다. 그래서 테일러 급수와 로피탈의 규칙은 삼각 함수의 미분을 포함하고 있으므로 식 (10)의 증명에 사용할 수 없다.

[참고문헌]

[1] BARK, "삼각함수의 합차공식에 대한 증명", 평범한 학생의 공부방, 2010. (방문일 2011-01-30)

[다음 읽을거리]
1. 로그 함수의 기원

2. 삼각 함수 항등식