2011년 11월 7일 월요일

멱급수 기반 상미분 방정식 해법(Solution of ODE Based on Power Series)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "멱급수 기반 상미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분 방정식의 의미
2. 선형 상미분 방정식


상미분 방정식(ordinary differential equation, ODE) 해의 존재성과 유일성을 증명할 때 사용한 피카르의 반복법(Picard's iteration method)은 항상 답을 무한 급수(infinite series) 형태로 내놓는다. 이를 다르게 표현하면 상미분 방정식의 해를 다음과 같은 멱급수(冪級數, power series)로 표현할 수 있다는 뜻이다.

                      (1)

테일러 급수(Taylor series)도 표현식이 식 (1)과 동일하므로 멱급수의 일종으로 생각할 수 있다. 멱급수로 표현하면 좋은 점은 미분과 적분이 매우 쉽고 미분 방정식을 푸는 방법이 멱급수의 계수를 결정하는 문제로 바뀌는 부분이다. 즉, 다음과 같은 2계 선형 상미분 방정식(the second order linear ODE)이 식 (1)과 같은 멱급수를 가정해서도 풀린다는 얘기다.

                      (2)

그러면, 식 (1)과 같은 멱급수 방식은 어떠한 2계 선형 상미분 방정식도 풀 수 있는가? 아니다. 피카르의 반복법(Picard's iteration method) 증명에 따라 $p(x)$와 $q(x)$가 유한한 경우에만 식 (1)을 이용할 수 있다. 다른 말로 하면 $p(x), q(x)$가 특정한 점 $x_0$에서 발산한다면, $y_0$ = $y(x_0)$를 가진 초기 조건에 대해서는 피카르의 반복법을 사용할 수 없다. 이를 이해하기 위해 다음과 같은 베셀의 미분 방정식(Bessel's differential equation)을 생각한다.

                      (3)

식 (3)을 식 (2)처럼 만들려면 식 (3) 전체를 $x^2$으로 나누어야한다. 그러면 $x$ = $0$에서 $p(x), q(x)$는 발산한다. 즉, 식 (1)과 같은 단순한 멱급수 전개로는 $x$ = $0$에서 베셀 미분 방정식의 해를 구할 수 없다.
이때 혜성과 같이 등장하는 방식이 프로베니우스 방법(Frobenius method)이다. 당연히 제안자는 수학자 프로베니우스Ferdinand Georg Frobenius(1849–1917)이다. 미분 방정식에는 수학자 이름이 붙은 풀이법이 꽤 많이 등장한다. 이 해법을 다 외우려는 시도는 멍청한 짓이다. 책을 펼치면 알 수 있는 해법을 굳이 외울 필요는 없다. 핵심적인 관점은 수학자가 왜 이 방법을 제안했는가이다. 프로베니우스도 우리와 동일한 고민을 했을 것이다. 멱급수 전개법은 단순하면서도 매우 유용한데, 식 (3)과 같은 방정식에는 사용할 수가 없다. 무언가 좋은 방법이 없을까? 앞으로 프로베니우스의 고민과 해결책을 상세히 설명한다. 먼저 프로베니우스 방법을 위한 미분 방정식을 살펴본다.

                      (4)

여기서 $p(x), q(x)$는 발산하지 않는다. 베셀 미분 방정식인 식 (3)은 식 (4)와 같은 미분 방정식에 포함된다. 피카르 반복법을 이용하여 $x$ = $0$ 근처에서 식 (4)의 미분 방정식 해를 구하기는 불가능하므로[∵ 식 (4)를 $x^2$으로 나누면 $dy/dx, y$의 항이 발산할 수 있다.] 머리를 좀 써본다. $x$ = $0$ 근처에서 식 (4)는 다음과 같은 미분 방정식이 된다.

                      (5)

여기서 $a$ = $p(0)$, $b$ = $q(0)$이다. 식 (5)와 같은 형태는 코쉬–오일러 방정식(Cauchy–Euler equation)이라 부른다. 점 $x$ = $0$ 이외에서는 해의 존재성과 유일성이 성립하기 때문에 다음과 같이 해를 구한다.

                      (6)

식 (6)을 보면 미분 방정식이 대수 방정식으로 바뀌기 때문에, $r$을 쉽게 결정할 수 있다. 즉, 식 (6)은 대수학의 기본 정리(代數學 基本定理, fundamental theorem of algebra)에 의해 2개의 해를 복소수 영역에서 반드시 가진다. 식 (6)의 결과를 식 (5)에 대입하면, 항상 식 (6)이 해임을 보일 수 있다. 그래서 $x$ = $0$을 제외한 모든 영역에서 식 (6)은 식 (5)의 해이다.[혹은 어떤 $r$값에서는 $y(0)$가 수렴할 수도 있으므로 이때는 $x = 0$를 포함할 수 있다.] 그러면 식 (4)의 해도 $x$ = $0$ 근방에서는 다음처럼 식 (6)과 같은 형태를 가진다[1].

                      (7)

점 $x$ = $0$ 근방에서 식 (4)의 해를 찾은 결과가 식 (7)이므로, 계수 $c_0$는 발산하지 않는다.[∵ $x = 0$ 근방에서 $y = x^r$은 식 (5)의 정상적인 해이므로 계수 $c_0$는 일반적인 상수이다.] 따라서, $x$ = $0$ 근방에서 $y/x^r$의 특성은 식 (1)과 같은 단순 멱급수 $c(x)$로 표현할 수 있다. 즉, $x^r$만 곱한 멱급수는 식 (4)를 풀 수 있는 새롭고 강력한 방법론이다. 식 (8)과 같은 급수 전개를 이용해 $p(x), q(x)$가 발산하는 미분 방정식을 푸는 직관적인 기법을 프로베니우스 방법이라 부른다.

                        (8)

여기서 계수 $a_m$은 식 (8)을 식 (4)에 대입해 항등식 조건[$x^{r+m}$의 계수가 0]을 이용해서 구한다. 이렇게 하면 $a_m$은 재귀 관계(再歸關係, recurrence relation)로 얻어지므로 $a_0 \ne 0$이다.[∵ $a_0$ = $0$이 되면 모든 $a_m$이 $0$이 되어서 의미가 없어진다.] 식 (8)에서 먼저 결정해야 하는 값은 $r$이다. 식 (6)을 참고해서 지수에 들어가는 $r$을 결정하는 지표 방정식(indicial equation) 혹은 특성 방정식(characteristic equation)을 공식화한다.

                      (9)

식 (9)에 도입한 지표 방정식은 $x$ = $0$ 부근에서 함수 $y$의 행동을 결정하는 지수 $r$에 대한 중요 방정식이다. 프로베니우스 방법을 사용할 수 있는 미분 방정식을 분류하기 위해 식 (4)를 다음처럼 변형한다.

                      (10)

어떤 값 $x$에서 $f(x)$가 수렴하면 $x$는 정상점(ordinary point)이며 $f(x)$가 발산하면 특이점(singular point)이 된다. 식 (10)에서 $x$ = $0$은 $P(x), Q(x)$의 특이점이다. 특이점이 있더라도 식 (10)의 셋째줄처럼 $x, x^2$를 곱하면 정상점이 되는 경우는 정칙 특이점(regular singular point)이 된다. 따라서 프로베니우스 방법이 적용되려면 정의역에는 정상점이나 정칙 특이점만 있어야 한다.

[참고문헌]

[다음 읽을거리]
1. 프로베니우스 방법의 적용

댓글 27개 :

  1. http://digital.kyobobook.co.kr/digital/ebook/ebookDetail.ink?barcode=480120003411P

    http://digital.kyobobook.co.kr/digital/ebook/ebookDetail.ink?barcode=480120003419P


    직접 제작한 교재인데 여유가 있다면 한 번 참고해 주시겠습니까?

    자연계열의 교양수학입니다. 미분방정식 이론은 아니지만 수학을 좋아하시는 것 같아 소개해 드려요.

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    1. 정보 공유 감사합니다.
      이상민님 대단하네요. 학교에 있으면서 책까지 쓰시다니!
      하여튼 수학책 저자 방문을 환영합니다.

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  2. 제가배운 미분방정식책에는 왜멱수와멱급수가해법인지 설명이없엇는데 좋은정보얻어갑니다

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  3. 항상 많은 도움 받고 있습니다^^ 몇몇 댓글을 익명으로 쓴 적이 있습니다만 뭔가 익명이라고 뜨는게 마음에 안 들더라고요!

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  4. x=0에서 c0는 발산하지 않으므로 식 (1)과 같은 멱급수 전개를 수행할 수 있다. 라는 말이 이해가 가지 않네요,,

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    1. 본문을 수정했습니다. 다시 한 번 보세요. ^^

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    2. 어느 함수가 어느 한점에서 발산하지 않으면 항상 멱급수의 형태로 나타날수 있다는 건가요?

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    3. 예, 맞습니다. 멱급수는 무한 급수라서 정의역에서는 반드시 수렴해야 합니다.

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  5. 안녕하세요
    혼자 공부 하면서 TM님 포스팅이 많은 도움이 됩니다.
    궁금한 점이 있는데, 정칙특이점이 0이 아닌 경우에도, 급수해가 x의 멱함수라고 놓고 재귀 공식을 구해야 하나요?
    예를 들면 르장드르 함수는 x=1 에서 정칙 특이점을 가져서 저는 급수해가 x-1 의 멱급수 형태라고 생각하고 풀어봤는데 알려진 해랑 다르게 나오더군요. 그래서 무작정 x의 멱급수 꼴로 넣고 풀어봤더니 잘 알려진 해를 쉽게(?) 구할 수 있더군요
    이에 대해 간략한 설명 해주실 수 있나요?

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    1. 르장드르의 미분 방정식은 아래에 기술되어 있습니다. 참고해보세요, 명탐점무자님. ^^

      http://ghebook.blogspot.kr/2013/02/legendres-differential-equation.html

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  6. 프로베니우스 방법을이용해서 이계 상미분을 풀어봤는데요
    Odd fxn과 even fxn에서 앞의 상수ao와 a1이 실수와 허수인가요?
    이계상미분의 결과값이 모든점에서 sin함수와 cos함수로 좌표계에 나타낼수있고 conjugate를 생각했을때 허수와 실수부분에대한 명시가없어서 여쭤봐요 아무 상관없는건지 둘다 실수부분을 표기한건지 모르겠어요

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    1. 기본적으로는 실수 함수로 가정합니다. 그래서 계수는 실수입니다. 또한 실 함수를 잘 확장하면 해석적인 복소 함수까지 갈 수 있어요. 이때는 계수가 일반적으로 복소수입니다.

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  7. 식 (8)이 성립하는 건 식 (7)의 x^r*C_0 이 x=0 근처에서 근사값을 가지므로 그런 건가요?( x^r*C_0 - x^r*C_approx =/=0 이므로? )

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    1. 질문이 좀 애매한데요. 식 (8)이 성립하는 이유는 $x = 0$ 근방에서 해가 $x^r$처럼 움직이기 때문입니다. 그래서 $y = c_0 x^r$처럼 쓸 수 있어요.

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  8. 특이점이라는 것은 그렇다면 식을 발산하게 만드는 값이 특이해가 된다는 뜻인가요?

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    1. 해가 특정 위치에서 특이점을 가질 수 있겠지만, 미분 방정식에 등장하는 식 (10) 관계 때문에 특이점이 생길 수 있어요.

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  9. Mechanical engineering2021년 5월 13일 오전 3:37

    제가 좋은 블로그를 찾았네요. 기쁩니다. 공학수학을 배우고 있는 대학생입니다. Frobenius가 멱급수해법의 확장판이라고 배웠는데
    그런데 멱급수로 풀리는 방정식을 Frobenius는 r값 때문에 계속 2가지의 급수가 나오는데 멱급수는 a_m*x^m으로 하나만 나와서 안풀리네요.

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  10. 두 해법의 미분방정식의 차이를 구분짓지 못하겠어요

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    1. 통상적인 멱급수 방식은 식 (8)에서 $r = 0$인 경우입니다. 식 (1)과 (8)을 비교해보세요.

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    2. 미분방정식의 멱급수 해법이 가능한 이유는 무엇인가요 ?

      미분방정식의 멱급수 해법이 가능하기 위한 조건은 무엇인가요 ?

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    3. 1차 상미분 방정식은 해의 존재성과 유일성이 증명되어 있어요. 이를 위해 주로 사용하는 방법이 무한 급수를 이용한 피카르의 반복법(Picard's iteration method)입니다. 그래서 미분 방정식을 풀 때 멱급수가 기본적으로 나옵니다.
      아래 링크 참고하세요.

      https://ghebook.blogspot.com/2011/10/differential-equation.html

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  11. 안녕하세요 언제나 감사드립니다!
    질문이 있는데요 (8)에서의 C(x)의 a_m과 (1)에서의 y의 a_m은 표기만 같고 실제로 같은 값은 아닌거죠?
    혹시 같은 값이면 어떻게 같은 값을 갖게 되는지 알려주시면 감사하겠습니다!

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    1. 멱급수 표현이라 비슷해 보일 뿐이고요, 계수가 서로 같을 필요는 없어요.

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