2010년 12월 27일 월요일

피타고라스의 정리(Pythagorean Theorem)

[그림 1] 기하학의 비유(Allegory of Geometry): 피타고라스 정리의 증명을 보여주는 여인(출처: wikipedia.org)

[피타고라스의 철학]

현재와 같은 고등 수학을 만들었던 수학적 시초가 무엇인지, 이와 같은 수학 기초를 만든 수학자는 누구인지 고민해본 적이 있는가? 수학의 시작을 논할 때 빼놓을 수 없는 명제는 당연히 $1+1$ = $2$이다. 하지만 제안자는 선사 시대의 어느 원시인으로 추정되므로 이건 논외로 하자. 옛날 원시인 천재를 제외하면 또렷이 떠오르는 수학 창시자 한 사람이 있다. 바로 고대 그리스 시대에 살았던 유클리드Euclid(대략 기원전 325–265) 혹은 에우클레이데스(Εὐκλείδης)이다. 유클리드는 기하학의 아버지(Father of Geometry)란 별명처럼 기하학을 집대성한 위대한 수학자이다. 이게 얼마나 대단한 개념인지는 우리가 쓰는 기하학(幾何學)의 어원을 보면 명확해진다.
기하학이란 글자는 한자로 구성되어 있지만 사실 한자가 아니다. 영어 지아머트리(geometry)의 처음 두 음절인 지아를 가차하여 기하(幾何, 중국어로 지허)로 표현했다. 영어 지아머트리는 고대 그리스어 게오메트리아(γεωμετρία, 지표 측량)가 어원이다. 기원전 2000년경한반도 후기 신석기 시대 시작부터 지표 측량을 위해 모아온 경험적 지식을 수학이라는 논리적 구조로 묶어서 자명한 방식으로 증명한 최초의 인물이 유클리드이다.[유클리드가 실존 인물인지 아닌지에 대한 여러 가지 가설이 있다.] 유클리드 이전에도 이런 시도가 있었지만, 처음부터 끝까지 논리적으로 증명한 예는 유클리드가 유일무이하다. 유클리드가 만든 이 수학 체계가 아랍, 유럽, 중국 등을 거쳐 우리에게 전달되었다. 그래서 기하학을 공부할 때, 하품보다는 경이를 먼저 떠올려보자. 우리가 쓰는 기하학이란 말 자체가 고대 그리스로부터 돌고돌아 우리에게 왔기 때문이다.

(a) 피타고라스의 탄생지인 사모스 피타고레이온

(b) 지하 세계에서 나오는 피타고라스
[그림 2] 수학을 만든 철학자 피타고라스(출처: wikipedia.org)

[유클리드의 전기]

유클리드 기하학(幾何學, Euclidean geometry)[1]의 가장 멋진 증명을 꼽을 때 피타고라스의 정리(定理, Pythagorean theorem)는 절대 빠질 수 없다. 다도해로 유명한 에게해(Aegean Sea)의 섬중 하나인 사모스(Samos) 피타고레이온(Pythagoreion)에서 태어난 피타고라스Pythagoras(대략 기원전 570–495)가 피타고라스의 정리를 증명했다는 전설이 전해진다. 하지만 이 정리의 엄밀한 증명은 한참 후대인 유클리드의 원론(原論, Elements)에 쓰여있다. 또 다른 전설에 의하면 피타고라스의 아내 테아노(Θεανώ, Theano)도 수학자였다. 남편 피타고라스와 아내 테아노가 서로 합심해서 고대 수학의 기틀을 만들었다는 멋진 상상을 해볼 수 있다. 1940년에 출판된 [2]에 의하면 현재까지 약 370 여개의 방법으로 피타고라스 정리를 증명할 수 있다. 수학 정리중에서 피타고라스의 정리만큼 다양한 방식으로 증명된 경우는 찾기 어렵다. 이런 정도로 피타고라스 정리의 위상은 매우 높다.

[그림 3] 대수 기반의 증명 방법(출처: wikipedia.org)

[그림 4] 재정렬에 의한 증명 방법(출처: wikipedia.org)

현재까지 나온 수백개의 증명 중에서 [그림 3]과 같은 대수(代數, algebra) 기반 증명이 가장 쉽고 이해가 빠르다. 또 다른 유도인 [그림 4]에 있는 재정렬 방법이 좀더 직관적이기는 하지만, 엄밀성 관점에서 [그림 4]의 방법은 세세한 부분까지 다시 증명해야 한다.

[피타고라스의 정리]
변수 $a, b, c$가 직각 삼각형의 각 변 길이이고 $c$가 가장 긴 변일 때 아래 식 (1)이 성립한다.

                          (1)

[증명: $a + b$ 관점]
[그림 3]의 아래쪽에 있는 사각형의 면적을 고려하면 아래 식을 얻을 수 있다.

                          (2)

여기서 두 개의 삼각형이 구성하는 바깥쪽 변 $(a + b)$가 직선임을 먼저 증명해야 한다. 증명을 위해 [그림 3]의 아래쪽을 참고한다. 그림을 보면 $a, b, c$가 직각 삼각형을 구성하기 때문에[∵ $\alpha + \beta$ = $90^\circ$] 이 부분은 명확하다.

[증명: $a - b$ 관점]
[그림 3]의 위쪽에 있는 변 길이가 $c$로 표현된 바깥쪽 사각형은 정사각형이다. 왜냐하면 사각형의 각도가 90˚이면서[∵ $a, b, c$가 직각 삼각형을 구성하기 때문에] 길이가 같기 때문이다. 따라서,

                          (3)
______________________________

유클리드는 공리, 정의, 정리를 엄밀하게 연결하여 피타고라스의 정리를 증명했지만, 식 (2)와 (3)에서는 단순하고 쉬운 대수학(代數學, algebra)을 이용한다. 대수학은 계산할 때에 숫자를 있는 그대로 쓰지 않고 문자로 교체해서 대신 연산하는 기법이다. 문자를 도입해 사용함으로써 수 체계가 가진 기반 구조를 더 쉽게 파악할 수 있었다. 그래서 훨씬 발전된 수학 이론인 대수학을 쓰는 방식이 정통 기하학보다 편리할 때가 더 많다. 하지만 기하학 없는 대수학을 생각하기는 어렵다. 유클리드가 정립했던 기하학이 발전을 거듭하여 정수론, 대수학, 함수론, 미적분학 등으로 진화했기 때문이다[3]. 특히 기하학과 대수학을 연결한 데카르트René Descartes(1596–1650)좌표계 기반 대수 기하학(algebraic geometry) 혹은 해석 기하학(analytic geometry)[해석학이 다루는 실수의 완비성(completeness of real numbers)으로 연속성을 가진 기하학을 연구]은 미적분 발견에 직접적인 영향을 끼쳤다.
수학을 넘어 전체 인류 역사로 확장하더라도 유클리드는 공전절후하다. 유클리드의 공리–정의–정리 기반의 수학 체계로 인해 인류의 인식 체계가 변화되어 궁극적으로 현대 수학과 과학으로 발전했기 때문에, 유클리드는 정말 나는 전설이다라고 할 만하다. 만약 인류 멸망으로 인해 짧은 단 하나의 지식만 소수의 생존자에게 전달할 수 있다면, 직각 삼각형(right-angled triangle) 하나면 충분하다. 자신들에게 전해진 직각 삼각형의 비밀을 풀기 위해 생존자들이 계속 고민하여 새로운 공리와 정리를 찾을 것이며 언젠가 제2의 유클리드가 등장하여 현재와 같은 고등 문명을 다시 건설할 것이기 때문이다.

[표 1] 수학 체계 구성 용어

유클리드가 시작하여 현대 수학까지 이른 수학적 체계를 구성하는 용어는 [표 1]과 같다. 비슷하면서 미묘하게 다른 면이 있으므로 잘 기억해야 한다. [표 1]의 용어만 잘 알아도 앞으로 수학책 읽기가 한결 수월해진다. 예를 들어, 피타고라스의 정리 (1)을 이용하면 산술–기하 평균 부등식(inequality of arithmetic and geometric means) (4)가 쉽게 증명된다. 이 부등식 증명에 피타고라스 정리를 사용하면 따름 정리가 된다. 물론 이 부등식은 피타고라스의 정리에 의지하지 않고 증명될 수 있으므로, 항상 피타고라스 정리의 따름 정리가 되지는 않는다.

[그림 5] 산술–기하 평균 부등식의 기하학적 의미

[산술–기하 평균 부등식]

                          (4)

여기서 $a$와 $b$는 양수이며 등호는 $a$ = $b$에서 성립한다.

[증명: 피타고라스의 정리 이용]
[그림 5]처럼 지름이 $a$와 $b$인 원을 정렬해서 배치하면 피타고라스의 정리에 의해 다음이 성립한다.

                          (5)

원의 중심이 만드는 기하 구조는 직각 삼각형이므로, 빗변[= $(a+b)/2$]은 밑변[= $\sqrt{ab}$]보다 반드시 커야 한다. 또한 빗변이 밑변과 같아지는 경우는 높이가 0인 경우 뿐이다. [그림 5]에서 삼각형의 높이가 0임은 당연히 $a$ = $b$를 의미한다.

[증명: 곱셈 공식 이용]
곱셈 공식을 사용하면 다음 부등식이 항상 성립해야 한다.

                          (6)

이 식을 이항해서 정리하면 식 (4)가 얻어진다.
______________________________

피타고라스의 정리 증명 때와 마찬가지로 대수학을 사용한 증명이 기하학을 직접 쓰기보다 간편하다. 하지만 시각적 직관 관점에서는 [그림 5]와 같은 방식이 훨씬 더 유용하다. 대수적 계산 없이 기하학적으로 원을 배치하면 신기하게도 산술–기하 평균 부등식이 증명되고 등호가 성립하는 경우까지 저절로 나온다. 식 (4)를 확장하여 일반화 산술–기하 평균 부등식(generalized inequality of arithmetic and geometric means)도 쉽게 증명할 수 있다[5].

[일반화 산술–기하 평균 부등식]

                          (7)

여기서 등호는 $x_1$ = $x_2$ = $\cdots$ = $x_n$인 경우에 만족된다.

[증명]
식 (4)를 여러 항으로 확장하여 식 (7)과 같이 기술한다. 식 (7)의 실제적인 증명에는 다음 부등식을 활용한다[5].

                          (8)

여기서 $a_1 \ge a_2$, $b_1 \ge b_2$이다. 식 (7)의 우변에 있는 거듭제곱근은 다루기 어려우므로, 식 (7)을 살짝 바꾸어 다음과 같이 변형한다.

                          (9)

여기서 $x_i$ = $a_i^n$ 혹은 $a_i$ = $\sqrt[n]{x_i}$이다. 식 (9)가 맞다고 생각하고 $n$을 하나 더 증가시킨 후, 식 (9) 좌변의 마지막 두 항에 식 (8)을 적용한다.

                          (10)

여기서 $a_1 \ge a_2 \ge \cdots a_n \ge a_{n+1}$이다. 식 (10)의 항인 $a_{n-1} a_{n-1}^n$과 $a_n a_{n+1}^n$에 대해 다시 식 (8)을 적용한다.

                          (11)

식 (11)과 같은 과정을 계속 반복해서 다음 최종 결과를 얻는다.

                          (12)

식 (4)에 의해 $n$ = $2$일 때 식 (9)가 성립하기 때문에, $n$ = $3$인 경우도 식 (12)에 의해 만족된다. 이 과정은 계속 반복될 수 있어서 모든 $n$에 대해 식 (7)이 증명된다.
______________________________

식 (12)를 증명할 때 사용한 방법은 수학적 귀납법(數學的歸納法, mathematical induction)이라 부른다. 수학적 귀납법은 자연수의 성질에 바탕을 두고 있다. 자연수는 가장 작은 수가 있고 이 수를 하나씩 키워가면 무한대까지 이를 수 있다. 따라서 수학적 귀납법의 증명 과정은 다음을 따른다.
  • 가장 작은 수 $n$ = $n_0$에 대해 명제를 증명한다.
  • 만약 $n$에서 성립한다면, $n+1$에서도 만족됨을 보인다.
  • 따라서 $n \ge n_0$에 대해 이 명제는 항상 성립한다. 
수학적 귀납법은 간단하면서도 강력해서 수학의 많은 분야에서 쉽게 만날 수 있다.

[참고문헌]
[3] J. Dieudonne, "The historical development of algebraic geometry," The American Mathematical Monthly, vol. 79, no. 8, pp. 827–866, Oct. 1972.
[4] 이한기, 수학의 맛 이야기 ③ 피타고라스 정리: 빠질 수 없는 소금, 사이언스올. (방문일 2017-09-26)
[5] Y. Uchida, "A simple proof of the geometric-arithmetic mean inequality," Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, vol. 9, no. 2, 2008, art. no. 56.
[6] 유필상, "물리수학: 수학과 물리학의 더욱 놀라운 만남", HORIZON, 2023년 9월. (방문일 2023-11-14)

[다음 읽을거리]
1. 삼각 함수
2. 유클리드 기하학

댓글 47개 :

  1. 웹툰 정주행 하는 느낌이네요. 즐거워요 감사합니다.

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    1. 방문 감사합니다. ^^ 수학을 웹툰으로 느낄 정도라니 부럽습니다.

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  2. 정말 웹툰 정주행같음
    바보로 느껴질까봐 여기부터 읽네요 ㅋㅋ

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    1. 천~천~히~ 하세요. ^^ 늦게 한다고 수학이 어디 가는 것도 아니고...

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  3. DFT이해할려다가 여기까지 왔습니다. 이러다 또 포기하겠죠 ㅋ

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    1. 딘가님, 포기하면 어떻습니까! 다시 시작하면 되지요. ^^

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  4. 데시벨 이해하려다 여기까지 왔네요. 바보되기 싫어서 여기서부터 다시 공부하겠습니다. 지금 외국 회사 연구소 신입사원인데... 동기들에게도 홈페이지 공유를 해야할것 같네요 ㅋㅋㅋ 열심히 정주행 하겠습니다 ㅋㅋ

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  5. 학원있는 학우들이 부럽지 않을정도네요~
    정말 잘 쓰시네요

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  6. 바보는 되기 싫고 ㅎㅎㅎ
    나이 먹어서 다시 보니 참 새롭네요
    마이크로 전자파 자료 보다가 계속 보고 있습니다
    정말 감사합니다.
    바보되지 않게 정주행하겠습니다

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    1. 방문 감사합니다, 고호선님. ^^
      블로그의 첫번째 꼬리에 오신 것을 환영합니다. 앞으로 계속 꼬리에 꼬리를 무시길...

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  7. ㅓ저기 길이가 왜 루트에이비지요..?

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    1. 피타고라스 정리를 이용하면 밑변 길이가 바로 나옵니다.

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  8. 거북이님 수고많으십니다. 저도 푸리에 찾다가 여기까지 와서 결국 글을 쓰고 있네요. 뭔가 고민에 고민을 더해 해답을 찾아가는것. 존경드립니다. 정말 궁금합니다. 머하시는 분이신가요? ^^;;(기분나쁘셨다면 죄송합니다 ㅠㅠ) 아무래도 팬 될꺼 같습니다!!!!

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  9. 맥스웰 방정식부터 여기까지 흘러들어왔습니다. 많은것 배우고 갑니다.

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    1. 반갑습니다, Unknown님. ^^ 계속 열공하실 바래요.

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  10. 대학생 4학년이 되서도 수학에 대해서 제대로 알지 못하고 항상 공식 암기 및 적용하여 답만 도출하다가, 부족함을 느껴서 부끄럽게도 이제서야 공부하네요. 이런 좋은 자료들을 공유해주셔서 감사합니다. 앞으로 잘 볼께요 감사합니다 :)

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    1. Unknown님, 계속 정진하시면 좋은 결과 있을 것입니다. 늦더라도 정도를 가면 원하는 길로 더 정확히 갈 수 있다고 믿어요 ^^

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  11. 대학교에서 배운게 너무 기억에 남는게 없어서 찾다찾다 기초부터 다시 해 보려고 합니다..
    제가 필요한 기초들이 너무 정리가 잘 되어있네요. 존경합니다..
    공학수학 물리 전자기학 순서로 공부하면 정복할 수 있을까요 ㅎㅎ

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  12. 전기과를 나와 전기관련 회사에 종사는 직장인입니다. 어렸을때 정해진 공식으로만 풀면 된다는 교육을 받고 대학과정에서 또한 전공서적에서만 나오는 문제만 풀면 사회에 나와서 소위 1인분정도는 할 줄 알았습니다. 하지만 남들과 다른 나만의 방식과 생각이 필요하다는걸 30대 중반 느즈막이 알게 되었습니다.
    우연히 전파거북이님의 블로그를 보고 정말 천천히 어렸을적에 왜라는 고민은 했지만 게으르고 질문할 용기가 없어 포기했던 지적 탐구를 하고 싶다는 맘이 생겼습니다. 너무나 유익한 블로그를 만들어 주셔서 감사합니다.
    저의 목표는 천천히 기초부터 쌓아서 프리드만 공식의 증명을 이해해보는 것입니다. 이런 도전을 할 수 있는 용기를 주셔서 감사합니다.

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    1. Unknown님, 대단하시네요. ^^ 꼭 성공하시길 바랍니다. 저도 일반 상대성 이론을 잘 이해하고 싶네요.

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  13. 너무 잘봤습니다.
    다른 글에서 쓰셨던, 이제 암기의 시대는 지났다는 말이 왜이렇게 공감되는지요.

    이해하고, 까먹으면 또 찾아보는 구글의 시대

    오랜 공부의 산물이실텐데, 나눔해 주셔서 감사합니다.

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  14. 전기기사 공부하면서 수학 공부 시작했는데, 수학이 재밌습니다. 설명 잘해주셔서 감사합니다.

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    1. Kang님, 잘 하셨습니다. 수학의 즐거움을 같이 누리시죠~~

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  15. 21년에 찾아 뵙습니다
    한번 바보에서 벗어나 보도록 하겠습니다

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  16. 요새 얇은 텐서 책을 읽으며 공부중인데, 책에서 혹시 개념이 잘 이해가 안가면 부록을 보라고 하더군요. 그래서 부록을 공부하고 있는데, 행렬식에서 parity of permutation을 보다가, cofactor를 검색하다가 여기 피타고라스의 정리까지 왔네요..
    즐겨찾기 해놓고 정주행 하겠습니다 ㅎㅎ 글 정말 잘 쓰십니다!

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  17. 식 (8) (a1-a2)(b1-b2)>=0 부분과 식 (9) 이 식 (4) 와 식 (7) 에서 어떻게 바꿔서 저렇게 된건지 알고싶습니다

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    1. 1. 식 (8)은 첫째식을 전개해서 정리하면 됩니다.

      2. 식 (9)는 단순한 치환입니다. 식 아래 설명을 한 번 더 보세요.

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  18. 답변 감사합니다. 식 (9)는 xi=ai^n 이렇게 생각을 못하고 xi=ai로만 생각해서 막혔네요

    그런데 식 (4)를 어떻게 바꿔서 (a1-a2)(b1-b2)>=0 부분이 나온건지는 아직 미궁입니다.
    (a-b)^2 >= 0 이 부등식이 (a1-a2)(b1-b2)>=0 요 부등식으로 변형된건가요?

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    1. 익명님, 너무 어렵게 생각하시는 것 같네요. 고민하시는 부등식은 양수와 양수를 곱한 결과는 항상 양수라는 뜻입니다. 식 (8) 밑에 있는 부등식 조건을 보세요.

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    2. 제가 글을 잘못 이해했나보네요. 의문이 해결됐습니다. 답변 감사합니다.

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  19. 안녕하세요. 댓글 게시를 했는데 안 보이는 것 같아 다시 질문 남깁니다. 혹시 (10)의 마지막 두 항이 아니라 a_n-1항과 마지막 항에 (8)을 적용한 이유가 뭔지 설명해주실 수 있나요? (8)을 부등식의 우변에 계속해서 적용해나가야 한다는 건 알겠는데 어느 항과 어느 항을 가지고 변형해야 하는지 모르겠습니다. 그리고 (11) 식에서 a_n*a^n_n+1 항을 쪼갠 다음에 (8)을 적용하셨는데 그 이유/기준도 궁금하고요. 무식하게 시도해봤는데 쪼개지 않고 (8)을 적용하면 같은 결과를 도출하기 어려운 것 같아서요ㅠㅠ

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    1. 식 (10)과 (11)의 마지막 항들을 보세요. 과정이 진행됨에 따라 각 식의 가장 마지막 항은 $a_i$의 곱입니다. 그리고 마지막 항의 왼쪽에 있는 항에서 공통된 $a_{n+1}$을 묶어내고 있어요. 즉, 공통된 $a_{n+1}$을 묶어낸 항에서 왼쪽에 있는 항에 식 (8)을 적용해서, 앞서 설명한 과정을 계속 반복하면 식 (12)가 나옵니다.

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  20. 좋은 자료 감사합니다.
    회로이론 공부하다 이 글로 왔습니다.
    식(12)에서 3번째 식과 4번째 식은 부등호가 아니라 등호 아닌가요?

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    1. 그렇네요. 정확하게 쓰는 게 좋겠네요. 감사합니다, 로마시멜님 👍

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  21. 고등학생 3년, 대학생 1년 동안 이 블로그에서 많이 배워갔었습니다.
    그때는 대입와 성적을 위해서 조급하게 공부했다면, 이제는 배움과 고민, 새로움에 대한 즐거움을 가지고 다시 학문을 공부해보고 싶다는 욕심이 생겼습니다. 군생활을 하면서 수학과 과학에 대해 거의 까먹었는데, 처음부터 차근차근 즐기기에 이보다 더 좋은 상황이 없다는 생각이 들었습니다. 행운이네요. 앞으로 천천히 따라가보겠습니다.

    생각해보면 이렇게 올려주신 전파거북이님에게 감사 인사를 한 적이 없어서 이렇게 댓글을 남깁니다. 좋은 자료와 블로그를 만들어주셔서 감사합니다.^^

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    1. 반갑습니다, 태희님 ^^
      정진하셔서 좋은 결과 만드시길 빕니다.

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  22. 안녕하세요 전파거북이님, 저는 수포자였는데 단진자의 운동에 대해 알고싶어 검색하다가 운 좋게도 이 블로그를 찾게 되었습니다. 올려주신 글이 많은 도움이 될 거 같아요. 앞으로도 올려주신 글들 천천히 공부하면서 따라가고 싶습니다. 그런데 글을 읽던 중에 궁금한 것이 있어 질문드리고 싶습니다.
    산술기하평균 부등식의 곱셈공식을 이용한 증명의
    (a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab >= 0에서
    증명이 어떻게 이루어지는지 모르겠습니다..ㅜㅜ

    (a + b)^2 - 4ab를 풀면
    a^2 + b^2 + 2ab - 4ab = a^2 + b^2 - 2ab가 나오고 -2ab를 부등호 오른쪽으로 이항하면
    a^2 + b^2 >= 2ab가 나오는데 여기서 어떻게 해야
    (a+b)/2 >= √ab로 바꿀 수 있는지 모르겠습니다.
    혹시 알려주실 수 있을까요?
    감사합니다.

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    1. 천천히 가면 누구나 수학을 좋아하고 즐길 수 있다고 생각해요. 음악과 미술처럼 수학도 수메르 시절부터 이어져 우리나라에 온 인류 문화 유산입니다.

      식의 좌변을 보면 $(a-b)^2$은 제곱이라 항상 0보다 크거나 작아요. 이게 증명의 시작입니다.

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