조금은 느리게 살자: 2차 형식(Quadratic Form)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "2차 형식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 행렬

[그림 1] 2차 함수의 예시(출처: wikipedia.org)

[그림 1]과 같은 2차 함수(quadratic function)를 다변수로 확장하면 2차 형식(quadratic form)이라 부른다. 2차 함수를 기초로 2차 형식을 다음처럼 공식화할 수 있다.

(1)

여기서 $\bar x$ = $(x_1, x_2, \cdots, x_n)$이다. 식 (1)을 열 벡터(column vector)와 행렬(matrix)의 곱으로 표현할 수도 있다.

(2)

여기서 열 벡터 $\bf x$ = $[x_1~x_2~\cdots~x_n]^T$, 행렬 $\bf A$의 원소는 $a_{ij}$이다. 식 (2)에서 $\bf A$가 항등 행렬(identity matrix)이면, $q({\bf x})$ = ${\bf x}^T {\bf x} \ge 0$이 항상 성립한다.

식 (2)를 일반화해서 열 벡터 $\bf x$와 $\bf y$에 대한 관계로 쓰면, 식 (3)을 쌍선형 형식(bilinear form)이라 부른다.

(3)

복소수(complex number) 영역에서 식 (2)를 표현할 때는 켤레 전치 행렬(conjugate transpose)을 사용한다.

(4)

여기서 $(\cdot)^H$는 켤레 전치 행렬이다. 일반적으로 복소수인 식 (4)의 결과가 실수로 한정되면, 식 (4)를 에르미트 2차 형식(Hermitian quadratic form)이라 한다.

2차 형식은 스칼라(scalar)이므로, 식 (2)에 전치 행렬을 적용하면 다음을 얻을 수 있다.

(5)

식 (5)에서 $\bf A$ = ${\bf A}^T$인 대칭 행렬(symmetric matrix)은 항상 ${\bf A} - {\bf A}^T$ = $\bf 0$으로 계산되기 때문에, 대칭 행렬이 아닌 반대칭 행렬(skew-symmetric matrix)에 대한 2차 형식은 항상 0으로 나와야 한다.[즉, $q({\bf x})$ = ${\bf x}^T {\bf A}_\text{skew} {\bf x}$ = $0$] 따라서 임의의 행렬 $\bf A$는 대칭 행렬 ${\bf A}_\text{sym}$과 반대칭 행렬 ${\bf A}_\text{skew}$로 분해될 수 있어서 다음 관계가 성립한다.

(6)

여기서 $\bf A$ = ${\bf A}_\text{sym} + {\bf A}_\text{skew}$이다. 식 (6)의 특성으로 인해, 2차 형식에 사용하는 행렬을 대칭 행렬로 한정하더라도 문제가 전혀 없다. 마찬가지로 에르미트 2차 형식도 식 (5)처럼 표현할 수 있다.

(7)