복소 함수의 평균값 정리(Mean Value Theorem of Complex Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "복소 함수의 평균값 정리"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다. 
1. 평균값의 정리

실수 함수(real function) 미분의 존재성을 보여주는 평균값의 정리(平均値 定理, mean value theorem)가 복소 함수(complex function)까지 확장될 수 있을까? 복소수(complex number)는 대소 관계가 성립하지 않기 때문에 부등식으로 증명한 실수 함수의 정리는 성립하지 않는다. 그 대표적인 예가 평균값의 정리이다. 평균값 정리는 롤의 정리에 기반을 두고 있으며, 롤의 정리는 부등식으로 증명한다. 따라서 롤의 정리(Rolle's theorem)가 복소 함수에서 성립하는지는 꼼꼼하게 증명을 해야 한다.

[그림 1] 실수 함수에 대한 롤의 정리(출처: wikipedia.org)

복소 함수가 정의된 구간인 $[a, b]$의 양쪽 끝점에서 $f(a) = f(b)$가 성립하면 구간 $[a, b]$의 어딘가에서 $f(z) = 0$인 복소수 $z$가 존재할까? 복소 평면은 1차원이 아닌 실수축과 허수축을 가진 2차원 평면이므로 롤의 정리에 쓰는 구간이란 표현은 맞지 않다. 그래서 복소 평면에서는 구간이란 표현보다는 경로라는 표현을 주로 쓴다. 또한 실수 함수에 대한 롤의 정리는 다음 부등식을 포함한다.

                (1)

복소 함수는 부등식이 없기 때문에 식 (1)을 어떻게 변형해야 할까? 이러한 고민을 해결하려면 복소 함수에서 롤의 정리가 성립하지 않는 반례를 제시하면 된다. 절대 0이 되지 않는 복소 함수 $f(z) = e^z = e^{i \phi}$를 고려하자. 이 복소 함수는 크기가 항상 1이며 미분하더라도 그대로이기 때문에 미분값이 0이 되는 경우는 없다. 하지만 롤의 정리에 의해 $f(0) = f(2 \pi i)$인 경우 $0$과 $2 \pi$ 사이의 경로에서 $f'(c) = 0$이 되는 어떤 복소수 $c$가 존재해야 한다. 이런 성립은 불가능하기 때문에 복소 함수에서는 롤의 정리가 성립하지 않는다. 당연히 롤의 정리로 증명되는 평균값의 정리도 성립하지 않는다.

결과가 약간 허무하지만 완전 비관적이지는 않다. 복소 함수의 실수부와 허수부를 택하면 실수 함수가 되기 때문에 롤의 정리를 약간 비틀어 다음처럼 표현할 수 있다.

[복소 함수의 롤 정리(Rolle's theorem of complex function)]

복소수 $z_1$에서 $z_2$로 변하는 경로 $c$에서 $f(z)$가 해석적이고 $f(z_1) = f(z_2)$라면  $\Re[f'(c_1)] = 0$와 $\Im[f'(c_2)] = 0$를 만족하는 복소수 $c_1, c_2$가 양쪽 끝점을 제외한 경로 $c$상에 반드시 존재한다. 복소수 $c_1, c_2$는 서로 같을 필요는 없다.

[증명]

복소 함수 $f(z)$가 해석적(analytic)이라면 $f(z)$의 실수부와 허수부는 연속이며 미분 가능하다. 그러면 $f(z)$의 실수부와 허수부 함수는 실수 함수의 롤 정리 조건을 만족하므로 어떤 복소수 $c_1, c_2$가 경로 상에 반드시 존재한다.

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복소수 $c_1$과 $c_2$가 서로 같으면 복소 함수에서도 롤의 정리가 완벽하게 성립하지만, 애석하게도 $c_1$과 $c_2$가 반드시 같다는 보장이 없다. 그래서 복소 함수에서는 실수 함수와 같은 롤의 정리 대신 다소 부실한 위 명제 정도만 성립한다. 

[그림 2] 실수 함수에 대한 평균값의 정리(출처: wikipedia.org)

복소 함수의 롤 정리와 유사하게 실수부와 허수부 함수를 구별함으로써 복소 함수의 평균값 정리를 증명할 수 있다.

[복소 함수의 평균값 정리(mean value theorem of complex function)]

복소수 $z_1$에서 $z_2$로 변하는 경로 $c$에서 $f(z)$가 해석적이면 다음 관계를 만족하는 만족하는 복소수 $c_1, c_2$가 양쪽 끝점을 제외한 경로 $c$상에 반드시 존재한다. 복소수 $c_1, c_2$는 서로 같을 필요는 없다.

                  (2)

[증명]

실수 함수의 평균값 정리와 비슷하게 다음과 같은 함수를 정의한다.

                  (3)

식 (3)에 의해 $g(z_1) = g(z_2) = f(z_1)$이므로 복소 함수의 롤 정리가 성립해서 $\Re[g'(c_1)] = 0$와 $\Im[g'(c_2)] = 0$를 만족하는 복소수 $c_1, c_2$가 양쪽 끝점을 제외한 경로 $c$상에 존재한다. 이 관계를 정리하면 식 (2)가 얻어진다.

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