2022년 11월 6일 일요일

2022년 10월 21일 금요일

버금 르장드르 함수(Associated Legendre Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "버금 르장드르 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


르장드르 함수(Legendre function) $P_n(x)$의 일반화인 버금 르장드르 함수(associated Legendre function) $P_n^m(x)$는 차수(次數, degree) $n$과 계수(階數, order) 혹은 계층수(階層數) $m$을 가지고 있다. 버금 르장드르 함수에서 $m$ = $0$으로 대입한 아주 특별한 경우가 르장드르 함수이다. 버금 르장드르 함수는 $m$까지 변화해서 함수를 생성하기 때문에, 함수값을 계산하기도 수학식에서 다루기도 더 어렵고 복잡하다. 버금 르장드르 함수가 만족하는 미분 방정식은 르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation)으로 부른다.

                       (1)

                       (2)

여기서 $m, n$은 정수이다. 식 (1)과 (2)의 해는 각각 $P_n^m(x)$와 $P_n^m(\cos \theta)$로 나타낸다.
미분 방정식 이론에서 버금 르장드르 함수를 다루는 이유는 구 좌표계(spherical coordinate system)를 기준으로 만들어지는 파동을 극고도각(極高度角, polar angle) $\theta$축에서 표현하는 기본 함수로 $P_n^m(\cos \theta)$를 선택하기 때문이다. 예를 들어, 자유 공간에서 평화롭게 전파되는 파동은 다음과 같이 공식화한다.

                       (3)

리카티–베셀 함수(Ricatti–Bessel function) 혹은 구면 베셀 함수(spherical Bessel function)와 복소 지수 함수(complex exponential function)를 이어주는 접착제 역할에 뽑힌 함수가 바로 버금 르장드르 함수이다. 버금 르장드르 함수는 $\theta$축을 다루는 기본 함수일 뿐만 아니라 $r, \phi$축의 변화를 연결해주는 속성도 가지고 있다. 이런 특성으로 인해 버금 르장드르 함수를 제대로 이해해야 구 좌표계 문제를 정상적으로 해결할 수 있다. 버금 르장드르 함수 $P_n^m (x)$의 차수와 계수는 $\phi$방향으로 $2 \pi$ 주기를 가지게 하고 $\theta$의 모든 정의역에서 $P_n^m (x)$가 유한하도록 만들기 위해 $m,n$을 정수로 제한한다. 하지만 $\phi$방향 주기 조건과 $\theta$에서 유한성을 버리면, 차수와 계수는 모두 실수 혹은 복소수가 될 수 있어서 $P_n^m (x)$ 대신 $P_\nu^\mu (x)$를 사용한다. 여기서 차수와 계수 $\nu, \mu$는 실수와 복소수 범위에 있다.


   1. 기본(basics)   

[정의]

                      (1.1a)

                      (1.1b)

여기서 $P_n(x)$는 르장드르 함수(Legendre function)이다.

[음의 차수와 계수]

                  (1.2)

                  (1.3)

[증명]
르장드르 함수 $P_n(x)$에 대한 음의 차수 공식에 넣어서 식 (1.2)를 증명한다. 식 (1.3)을 밝히기 위해, 식 (1.3)의 우변에 식 (2.1)을 넣고 일반 라이프니츠 규칙(general Leibniz rule)을 적용해서 정리한다.

                 (1.4)

                       (1.5)
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식 (1.4)로 인해 버금 르장드르 함수의 정의인 식 (2.1)에는 보기 싫은 항인 $(-1)^m (1 - x^2)^{m/2}$가 필연적으로 출현한다.

[음의 입력 변수: 패리티 혹은 동등성(parity)]

                      (1.6)

[증명]
식 (2.1)에 따라 $-x$에 대한 미분은 $\frac{d^{n+m}}{d(-x)^{n+m}} [(-x)^2 - 1]^n$ = $(-1)^{n+m} \frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}} (x^2 - 1)^n$이 되어서 식 (1.6)이 유도된다.
______________________________

[차수와 계수의 관계]

                  (1.7)

여기서 $m \ge 0$이다.

[증명]
만약 $n+m > 2n$이라면, 식 (2.1)에 의해 미분한 값은 반드시 0이 된다.
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만약 $m < 0$인 경우는 식 (1.3)을 적용해서 계산한다. 그러면 $-m > n$인 조건도 $P_n^m(x)$를 0으로 만든다. 따라서 $|m| > n$인 $P_n^m(x)$는 항상 0이다.

                  (1.8a)

                  (1.8b)

[증명]
식 (1.8a)를 증명하기 위해, 식 (2.1)에 $n$ = $m$을 대입한 후에 $2^m m!$ = $(2m)!!$, $\frac{d^{2m}}{dx^{2m}} x^{2m}$ = $(2m)!$로 놓고 정리한다.
식 (1.8b)에 식 (1.3)을 적용해서 식 (1.8a)로 바꾸면, 식 (1.8b)의 우변이 그대로 유도된다.  
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   2. 함수 표현식(function representation)   

[로드리그의 공식(Rodrigues' formula)]

                  (2.1)

[증명]
르장드르 함수 $P_n(x)$에 대한 로드리그의 공식(Rodrigues' formula)을 식 (1.1a)에 대입한다.
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[생성 함수(generating function)]

                  (2.2)

여기서 $|t| < 1$, $(\cdot)!!$은 이중 계승(double factorial)이다.

[증명]
먼저 르장드르 함수 $P_n(x)$의 생성 함수를 $x$에 대해 $m$번 미분한다.

                  (2.3)

             (2.4)

식 (2.3)의 우변도 동일하게 미분을 하고 식 (2.4)의 결과를 식 (2.3)의 좌변에 넣는다.

                  (2.5)

여기서 식 (1.7)에 의해 $P_0^m (x)$ = $P_1^m (x)$ = $\cdots$ = $P_{m-1}^m (x)$ = $0$이다.
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식 (2.2)에 식 (1.8)을 넣어서 버금 르장드르 함수의 생성 함수를 더욱 간략화할 수 있다.

                  (2.6)

식 (2.6)은 $P_{k+m}^m(x)$의 특성을 $P_m^m(x)$와 연결시킬 때에 매우 편리하게 사용된다.


   3. 재귀 관계(recurrence relation)   

버금 르장드르 함수의 재귀 관계는 주로 르장드르 함수에서 얻는 재귀 관계를 재활용해서 유도한다.

[단순한 재귀 관계]

                  (3.1)


                  (3.2)

식 (3.2)를 $m$번 미분하고 $(-1)^m (1-x^2)^{m/2}$을 곱해서 계수 $m$을 가진 버금 르장드르 함수를 만들면 식 (3.1)이 바로 유도된다.

                  (3.3)

        (3.4)

식 (3.4)의 첫째식에서 둘째식으로 넘어갈 때는 식 (3.5)가 필요하다.
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[$\sqrt{1-x^2}$을 가진 재귀 관계]

                  (3.5)

[증명]
르장드르 함수의 미분 차에 대한 재귀 관계를 $m$번 미분해서 식 (3.5)를 증명한다.

                  (3.6)

                  (3.7)
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   4. 특정값(specific value)과 극한(limit)   

                  (4.1a)

                  (4.1b)

[증명]
식 (1.1a)를 써서 간편하게 식 (4.1)을 얻는다.
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                  (4.2)

[증명]
식 (2.2)에 $x$ = $0$을 대입하고 뉴턴의 이항 정리(Newton's binomial theorem)를 적용한다.

             (4.3)

식 (4.3)의 무한 급수와 식 (2.2)의 우변을 비교해서 $P_{k+m}^m(0)$ = $P_{2l+m}^m(0)$이 가지는 값을 결정한다.

                  (4.4)

여기서 $k$ = $2l$이다. 식 (4.4)에서 $n$ = $2l + m$ 혹은 $l$ = $(n-m)/2$이라 두면, $2l$이 짝수라서 $n+m$도 항상 짝수가 된다. 그래서 $n+m$인 경우에만 함수값이 식 (4.2)의 첫째식과 같이 주어진다.
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                  (4.5)

[증명]
값 $x$ = $\pm 1$을 넣고 뉴턴의 이항 정리(Newton's binomial theorem)를 써서 식 (2.6)에 나온 분모를 무한 급수로 바꾼다.

                  (4.6)

식 (4.6)에 $n$ = $k+m$ 혹은 $k$ = $n-m$과 식 (1.8)을 대입한 후, 식 (2.6)과 항별로 비교해서 식 (4.5)의 우변을 얻는다.
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                  (4.7)

[증명] [3]
먼저 $m \ge 0$, $x$ = $\cos \theta$이라 놓고 식 (4.5)를 변형해서 식 (4.7)의 첫째식을 얻는다. 반대로 $m < 0$인 경우는 식 (1.3)을 써서 계수를 0보다 크게 만든다. 그러면 식 (4.5)를 다시 쓸 수 있어서 식 (4.7)의 둘째식도 증명된다.
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   5. 정적분(definite integral)   

[버금 르장드르 함수의 직교성(orthogonality of associated Legendre function)] [1]

                  (5.1)

여기서 $\delta_{nl}$은 크로네커 델타(Kronecker delta)이다.

[증명]
르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation)은 $q(x)$ = $m^2 \mathbin{/} (x^2 - 1)$, $r(x)$ = $1$, $\lambda$ = $n(n+1)$을 가진 스튀름–리우빌 미분 방정식(Sturm–Liouville differential equation)이므로, 고유 함수 $P_n^m(x)$는 서로 직교해서 $n \ne l$이라면 적분이 항상 0이 된다. 그래서 $n$ = $l$라고 한정하고 식 (2.1)을 식 (5.1)에 대입한 후에, 르장드르 함수의 직교성처럼 부분 적분(integration by parts)으로 답을 구한다.

                  (5.2)

여기서 부분 적분에 나오는 적분이 없는 항[$\int f'g\,dx$ = $fg - \int fg',dx$에서 $fg$]은 항상 0이다.[∵ 점 $x$ = $\pm 1$에서 $X^n X^m$은 영점을 $n+m$개 가지고 있고, 부분 적분으로 인해 미분은 $n+m-1$번을 하기 때문이다.] 식 (5.2)의 마지막식에 일반 라이프니츠 규칙(general Leibniz rule)을 적용하고 계산한다.

                  (5.3)

여기서 $n+m+k \le 2n$과 $n+m-k \le 2m$을 동시에 만족하는 값은 $k$ = $n-m$이 유일하다. 식 (5.3)을 식 (5.2)에 다시 넣고 베타 함수(beta function)를 써서 최종 유도를 완성한다.

                  (5.4)

                        (5.5)

                       (5.6)
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                  (5.7)

여기서 $m \ne 0$, 만약 $m$ = $k$ = $0$이면 적분값이 발산한다.

[증명] [2]
르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation)을 스튀름–리우빌 미분 방정식(Sturm–Liouville differential equation)으로 바꿀 때, 식 (5.1)의 증명과는 다르게 $q(x)$ = $-n(n+1)$, $r(x)$ = $1 \mathbin{/} (1-x^2)$, $\lambda$ = $-m^2$로 둔다. 다만 $r(x)$가 $x$ = $\pm 1$ 근방에서 발산하므로 $\lim_{x \to \pm 1} r(x) P_n^m(x)$는 유한해야 한다. 이에 따라 고유 함수 $P_n^m(x)$의 직교성을 이용해 $m \ne k$인 적분은 0이 됨을 쉽게 밝힐 수 있다. 반면에 계수가 $m$ = $k$인 경우는 식 (5.2)와 비슷한 연산을 되풀이한다.

                  (5.8)

다만 식 (5.2)와 다르게 부분 적분에서 적분이 없는 항이 사라지지 않는 경우가 발생한다. 왜냐하면 $X^n$과 $X^{m-1}$을 각각 $n$번 및 $m-1$번 미분함으로 인해 $x$ = $\pm 1$에서 $X$의 영점이 사라지기 때문이다. 식 (5.8)의 마지막 적분은 일반 라이프니츠 규칙(general Leibniz rule)으로 처리한다.

                  (5.9)

여기서 $k$는 $n+m+k \le 2n$과 $n+m-k \le 2m -2$를 동시에 만족할 수 없어서 적분이 0으로 나온다. 따라서 $x$ = $1$과 $-1$에서 함수값을 구하면 식 (5.7)의 적분이 유도된다. 먼저 식 (5.8)의 마지막식에 $x$ = $1$를 넣어서 항별로 계산한다.

             (5.10)

                  (5.11)

점 $x$ = $-1$의 함수값은 식 (5.11)과 크기는 같고 부호만 바뀌므로, 식 (5.11)을 두 배한 값을 식 (5.8)의 마지막식에 넣어서 최종적으로 식 (5.7)을 증명한다.
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[참고문헌]
[1] G. B. Arfken, H. J. Weber, and F. E. Harris, Mathematical Methods for Physicists, 7th ed., Academic Press, 2013.
[2] Orthogonality of associated Legendre functions," ProofWiki. (방문일 2022-11-16)
[3] Y. H. Cho and W. J. Byun, "Generalized Friis transmission equation for orbital angular momentum radios," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 67, no. 4, pp. 2423–2429, Apr. 2019.
[4] R. S. Maier, "Associated Legendre functions and spherical harmonics of fractional degree and order," Constr. Approx., vol. 48, no. 2, pp. 235–281, Oct. 2018.

[다음 읽을거리]

르장드르 함수(Legendre Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "르장드르 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


다항식으로 구성하는 르장드르 함수(Legendre function) $P_n(x)$는 특수 함수(special function)치고는 표현식이 간단해서 다루기가 쉽고 개념이 어려워 보이지도 않는다. 하지만 편안한 마음으로 르장드르 함수를 보다가는 정말 큰 코 다친다. 차수(次數, degree) $n$이 낮을 때는 아무렇게나 계산해도 정확한 함수값을 얻을 수 있지만, $n$이 커지면 다항식의 각 항이 서로 빼지는 효과를 가져서 함수값을 정밀하게 구하기가 정말 어렵다. 그래서 수학적인 개념에 바탕을 두고 르장드르 함수를 이해해야만 큰 차수의 $P_n(x)$도 수치 해석에서 원활하게 이용할 수 있다. 매우 정확하게 르장드르 함수값을 구하는 쉬운 방법은 임의 정밀도 산술(arbitrary precision arithmetic)을 제공하는 도구인 Arb[1]이다. Arb는 사용자가 원하는 정밀도로 산술 연산을 해서 $P_n(x)$의 차수가 커져도 옳은 값을 도출한다. 다만 Arb의 정밀도와 계산 시간은 비례해서 적절한 타협을 하든지 수학 관계식으로 변환하여 빠르게 계산되는 공식을 써야 한다.

                       (1)

                       (2)

여기서 $n$은 정수이다. 계수(階數, order) 혹은 계층수(階層數)를 $m$ = $0$으로 설정한 르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation)인 식 (1)과 (2)는 $x$ 혹은 $\theta$를 입력 변수(argument)로 표현하므로, 미분 방정식의 해에 해당하는 르장드르 함수는 $P_n(x)$ 혹은 $P_n(\cos \theta)$로 나타낸다. 여기서 식 (1)의 치환은 $x$ = $\cos \theta$이다. 르장드르 함수 $P_n(x)$가 정의역 $[-1, 1]$에서 항상 유한하려면, 미분 방정식의 고유치는 항상 $\lambda$ = $n(n+1)$이어야 한다. 거꾸로 모든 점에서 유한할 필요가 없는 경우는 정수 $n$ 대신 실수 혹은 복소수 $\nu$를 써서 $\lambda$ = $\nu (\nu+1)$로 확장한다.


   1. 기본(basics)   

[음의 차수]

                      (1.1)

[증명]
식 (1)에 $n$ 대신 $-n$을 넣어서 $(n-1)n$을 얻는다.
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[음의 입력 변수: 패리티 혹은 동등성(parity)]

                      (1.2)

[증명]
식 (2.6b)에 따라 짝수 및 홀수 차수는 각각 $x^{2k}$와 $x^{2k+1}$ 항만 있어서 식 (1.2)가 쉽게 증명된다. 혹은 식 (2.7)을 미분할 때 $x$ 대신 $-x$를 써서 식 (1.2)를 만들어낸다. 예를 들어, 1차 르장드르 함수에 나오는 미분은 $d/d(-x) [(-x)^2 - 1]$ = $-2x$ = $(-1) d/dx (x^2 - 1)$이 성립하므로, $P_1 (-x)$ = $(-1)^1 P_1 (x)$를 가볍게 얻는다.
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[함수의 크기]

                      (1.3)

[증명]
식 (2.12)에 나오는 피적분 함수의 크기를 $|x| \le 1$인 조건으로 계산한다.

                       (1.4)

여기서 $\sqrt{x^2 - 1}$ = $i \sqrt{1 - x^2}$이다. 식 (1.4)는 단순한 2차 함수라서 $x^2$ = $1$에서 최대값 1이 생긴다. 따라서 식 (2.12)의 적분 크기는 항상 1보다 작아야 한다.
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   2. 함수 표현식(function representation)   

[생성 함수(generating function)] [2]

                  (2.1)

여기서 $|t| < 1$이다.

[증명]
제곱근 함수 $1/\sqrt{1 - x}$의 테일러 급수 전개(Taylor series expansion)로부터 증명을 시작한다.

                       (2.2)

식 (2.2)에 나온 이중 계승(double factorial)조합(combination)계승(factorial)으로 모두 정리한다.

                       (2.3)

식 (2.3)의 무한 급수에서 $t^n$ 항을 만들기 위해, 식 (2.3)에 코쉬 곱(Cauchy product)에 대한 메르텐스의 정리(Mertens' theorem)를 적용한다. 쉽게 말해서 식 (2.3)의 마지막식에 $n$ 대신 $n-k$를 대입한다.

                  (2.4)

                  (2.5)

이 결과를 르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation)에서 구한 해인 식 (2.6b)와 비교해서 유도를 완성한다.
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[유한 급수 표현식]

                  (2.6a)

                  (2.6b)

여기서 $[x]$는 최대 정수 함수(greatest integer function) 혹은 바닥 함수(floor function)라 부른다.

[증명]
식 (2.5)에서 구한 유한 급수(finite series)인 식 (2.6a)를 변형해서 차수 $n$이 짝수와 홀수인 경우에 대해 식 (2.6b)를 얻는다. 르장드르 다항식(Legendre polynomial) 혹은 르장드르 함수인 식 (2.6b)는 르장드르의 미분 방정식에서 구한 해와 상수배만 차이나서 이 미분 방정식을 그대로 만족한다.
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[로드리그의 공식(Rodrigues' formula)]

                  (2.7)

[증명]
식 (2.6a)에 $n$번 미분 연산을 추가해서 조금 간략화한다.

                  (2.8)

식 (2.8)의 마지막에 인위적으로 넣은 $k$ = $[n/2]+1, [n/2]+2, \cdots, n$ 항은 급수 합에 기여하지 못한다. 왜냐하면 급수 바깥에서 미분을 $n$번 하고 있어서 $x^{2n-2[n/2]-2}$보다 작은 차수의 항은 0이 되기 때문이다.
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1816년로드리그 21세, 조선 순조 시절에 로드리그의 공식을 발견한 로드리그Olinde Rodrigues(1795–1851)회전 행렬(rotation matrix)의 제안자이기도 하다.

[점 $x$ = $1$ 기준의 유한 급수 표현식]

                  (2.9)

[증명]
식 (2.7)에 있는 $(x^2 - 1)$을 인수 분해하여 $(x-1)(x+1)$로 만들고 일반 라이프니츠 규칙(general Leibniz rule)을 적용한다.

                        (2.10)

지표(index) $m, k$의 위치를 바꾸어서 식 (2.9)처럼 표기한다.

                        (2.11)

여기서 마지막식을 만들 때는 방데르몽드의 항등식(Vandermonde's identity)을 사용한다.
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[$P_n(x)$용 제1 라플라스 적분(the first Laplace integral)]

                  (2.12)

[증명]
식 (2.1)에 나온 생성 함수의 분모를 $1-2xt + t^2$ = $(1-xt)^2 - t^2 (x^2 - 1)$로 바꾸어서 아래 적분에 대입한다.

                        (2.13)

                        (2.14)

여기서 $a$ = $1-xt$, $b$ = $t \sqrt{x^2 - 1}$이다.
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[$P_n(x)$용 제2 라플라스 적분(the second Laplace integral)]

                  (2.15)

[증명]
식 (2.12)의 차수를 식 (1.1)처럼 음수로 바꾼다.
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식 (2.12)와 (2.15)는 $x$가 1보다 크거나 혹은 작더라도 잘 계산되는 적분이다.

[평면파 전개(plane-wave expansion) 혹은 레일리 전개(Rayleigh expansion)]

                  (2.16)

[증명]
르장드르 함수의 완비성(completeness of Legendre function)을 이용해서 평면파 표현인 식 (2.16)의 좌변을 무한 급수로 전개한 후, 식 (5.1)에 제시한 르장드르 함수의 직교성을 적용한다.

                       (2.17)

여기서 둘째식에 사용한 적분은 구면 베셀 함수(spherical Bessel function)와 르장드르 함수의 관계에서 구한다.
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   3. 재귀 관계(recurrence relation)   

[르장드르 함수의 합: 보네의 재귀 공식(Bonnet's recursion formula)]

                  (3.1)

[증명]
식 (2.1)을 $t$에 대해 미분해서 새로운 무한 급수 항등식을 하나 만든다.

             (3.2)

모든 $t$에 대해 성립하므로, 식 (3.2)에서 $t^n$의 계수는 0이 되어야 한다. 그러면 $n \ge 0$인 경우에 식 (3.1)이 어렵지 않게 얻어진다. 식 (1.1)을 식 (3.1)에 대입해서 음수 차수를 가진 르장드르 함수가 만드는 재귀 관계도 동일하게 유도한다.

                  (3.3)
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[르장드르 함수의 미분 합]

                  (3.4)

여기서 $(\cdot)'$는 $x$에 대한 미분을 의미한다.

[증명]
이번에는 식 (2.1)을 $x$에 대해 미분해서 증명한다.

                  (3.5)
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[르장드르 함수의 미분 차]

                  (3.6)

[증명]
식 (3.1)을 $x$에 대해 미분해서 $P_n'(x)$의 관계식을 구한다.

             (3.7)

식 (3.7)의 마지막식을 식 (3.4)의 우변에 대입한 후 정리해서 식 (3.6)을 만들어낸다.
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[르장드르 함수의 미분]

                  (3.8)

[증명]
식 (3.4)와 (3.6)을 더해서 2로 나누면 식 (3.8)이 바로 나온다.
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식 (3.8)을 이용해서 $P_n(x)$의 고차 미분을 순차적으로 구할 수 있다.


   4. 특정값(specific value)과 극한(limit)   

                  (4.1)

여기서 $n$ = $0, 1, 2, \cdots$, $(\cdot)!!$은 이중 계승(double factorial)이다.

[증명]
식 (2.1)에 $x$ = $1, -1, 0$을 각각 대입하고 좌변을 테일러 급수(Taylor series)로 전개해서 식 (4.1)을 증명한다.
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   5. 정적분(definite integral)   

[르장드르 함수의 직교성(orthogonality of Legendre function)]

                  (5.1a)

                  (5.1b)

여기서 $\delta_{nl}$은 크로네커 델타(Kronecker delta)이다.

[증명: 로드리그의 공식]
스튀름–리우빌 미분 방정식(Sturm–Liouville differential equation)의 관점에서 르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation)은 $r(x)$ = $1$, $\lambda$ = $n(n+1)$이며, $\lambda$에 대응하는 고유 함수가 $P_n(x)$이다. 그래서 $n \ne l$인 적분은 고유 함수의 직교성에 의해 항상 0이 된다. 차수가 $n$으로 같은 경우는 식 (2.7)을 사용해서 부분 적분을 수행한다.

                  (5.2)

식 (5.2)의 마지막에 나온 적분은 변수 치환을 통해 베타 함수(beta function)로 만든다. 마지막으로 잘 알려진 베타 함수의 성질을 적용해서 식 (5.1)을 유도한다.

                  (5.3)

                        (5.4)

[증명: 생성 함수]
식 (2.1)을 제곱해서 르장드르 함수의 곱을 가진 무한 급수를 생성한다.

                       (5.5)

스튀름–리우빌 이론이 보장하는 고유 함수의 직교성을 쓰기 위해 식 (5.5)를 적분한다.

                       (5.6)

식 (5.6)의 좌변은 단순하므로 그대로 적분하고, 최종 결과를 테일러 급수(Taylor series)로 전개한다.

                       (5.7)

식 (5.7)의 결과와 식 (5.6)의 우변을 항대항으로 비교하면 식 (5.1)이 간단하게 나온다.
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[르장드르 함수 미분의 직교성]

                  (5.8)

[증명]
부분 적분을 써서 미분 하나를 제거한 후에 식 (2)를 다시 대입한다.

             (5.9)
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[참고문헌]
[1] F. Johansson, "Arb - a C library for arbitrary-precision ball arithmetic," Arb 2.23.0 Documentation, 2022. (방문일 2022-10-02)
[2] G. B. Arfken, H. J. Weber, and F. E. Harris, Mathematical Methods for Physicists, 7th ed., Academic Press, 2013.

[다음 읽을거리]