[경고] 아래 글을 읽지 않고 "전자기 광선 추적"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
[그림 1] 전자기 광선 추적을 위한 좌표계
[표 1] 전자기 광선 추적에 쓰는 광선의 자료 구조, PRD(per-ray data)
| 이름 (Name) | 자료형 (Data type) | 의미 (Meaning) |
|---|---|---|
| 전기장 계수(electric-field coefficient) | complex3 | 광선이 가진 전기장 계수의 3차원 벡터는 $\bar E_g$ = $(E_{gx}, E_{gy}, E_{gz})$로 설정;기하 광학장(geometrical optics field)의 계수를 의미; 각 성분은 페이저(phasor)를 사용하여 경로 길이 $s$ = $0$인 경우의 전기장 크기와 위상을 표현 |
| 수신 전기장(received electric field) | complex3 | 전기장 계수와 경로 길이까지 모두 고려한 실제로 수신되는 전기장 벡터 $\bar E_\text{rx}$; 수신기에서 감지되는 모든 송신 광선을 포함한 값 |
| 경로 길이(path length) | float 혹은 double | 광선이 이동한 총길이 $s$를 담는 변수; 기하 광학에 나오는 $A(s) e^{ik_0 s}$에 사용 |
| 반사 회수(# of reflection) | unsigned int | 광선이 물체면에서 반사되는 회수를 저장; 반사와 회절 회수가 어느 이상이 되면 광선을 종료함 |
| 회절 회수(# of diffraction) | unsigned int | 광선이 물체 모서리에서 회절되는 회수를 저장; 회절된 전기장은 약하기 때문에 회절 회수는 대략 $1$회만 생각함 |
전자파 신호의 송수신 특성을 계산하는 전자기 광선 추적(electromagnetic ray tracing)은 기존 광선 추적과 비슷하지만, 블린–퐁 반사 모형(Blinn–Phong reflection model)을 쓰지 않고 전자파의 반사(reflection)와 회절(diffraction)을 가능한 한 정확하게 적용한다. CG용 광선 추적을 채용하여 전자파의 산란 현상을 매우 빠르게 계산하는 전자기 광선 추적은 주로 통신 시스템의 전파 환경 분석에 사용된다[1]–[9]. 다만 [그림 1]처럼 전자기 광선 추적은 기존 광선 추적과는 다르게 송신기(transmitter, Tx)부터 출발해서 수신기(receiver, Rx)를 찾는다. 이러한 방식은 수신기부터 출발해 광선을 수동적으로 추적하는 광선 추적(ray tracing)은 아니고 송신기에서 광선을 능동적으로 던지는 광선 투사(光線投射, ray casting)가 맞는 용어이다. 하지만 광선 추적이 너무 유명해서 송신기에서 광선을 투사하는 방식도 어색하게나마 광선 추적이라 이름 붙인다. 또한 기존 광선 추적처럼 수신기에 들어오는 광선만 따라가면, 수신 전자파의 편파(polarization)를 고려하기 매우 어렵다. 왜냐하면 수신기로 들어오는 편파는 2종류가 있고 어느 편파가 수신될지 알 수 없어서 모든 편파를 다루어야 하기 때문이다. 즉, 송신기의 광선 투사보다 수신기의 광선 추적은 저장 공간과 정확한 산란 계산에 불리하다.
전자기 광선 추적의 공식화를 위해, 광선이 전파되는 특성은 기하 광학(geometrical optics, GO)의 관계식 $\bar E(s)$를 그대로 채택한다.
(1)여기서 $s$는 전자파가 진행한 경로 길이(path length), 구면파인 경우 확산 인자(spreading factor)는 $A(s)$ = $\rho/(\rho + s)$, $\rho$는 구면파의 곡률 반경, $k$는 파수(wavenumber)이다. 이동 통신(mobile communication)에서 사용하는 안테나는 보통 수직 편파(vertical polarization)를 사용하므로, 전자기 광선 추적의 편파는 건물 벽에 전기장이 평행한 TE(횡전기 혹은 가로 전기, Transverse Electric)파를 주로 선택한다. 그래서 편파를 TE파로 고정하면 식 (1)의 벡터 $\bar E(s)$ 대신 스칼라 $E(s)$를 쓸 수도 있다. 임의의 안테나 편파를 다룰 때는 TE파와 TM(횡자기 혹은 가로 자기, Transverse Magnetic)파를 함께 사용한다. 프레넬 방정식(Fresnel equation)에 따라 TE파와 TM파가 임의 매질에서 반사되는 계수는 다음과 같다.
(2: TE파의 반사 계수)
(3: TM파의 반사 계수)광선 추적에 필요한 반사 계수 $r_s$와 $r_p$는 입사 각도 $\theta_i$와 물체의 복소 유전 상수(complex dielectric constant) $\epsilon_r$로만 결정된다. 이상을 바탕으로 전자기 광선 추적을 OptiX 광선 추적 엔진(ray tracing engine)에서 실행하는 방법을 소개한다.
- 광선 발생 프로그램(Ray Generation Program)
송신 안테나의 안테나 이득(antenna gain)과 관련된 벡터식 복사 패턴(vectorial radiation pattern)을 이용해 송신기에서 광선을 발생시킨다. 송신 안테나에서 복사되는 전기장 $\bar E(\bar r)$은 다음처럼 다양하게 공식화된다.
(4)여기서 $V_\text{in}$은 안테나의 입력 전압, $\bar E_p(\theta, \phi)$ = $E_{p \theta}(\theta, \phi) \hat \theta + E_{p \phi}(\theta, \phi) \hat \phi$는 벡터식 복사 패턴(vectorial radiation pattern), $\bar E_p(\theta, \phi)$의 크기 제곱은 흔히 사용하는 안테나 이득(antenna gain) $G(\theta, \phi)$ = $|\bar E_p(\theta, \phi)|^2$이 된다. [표 1]에 제시한 PRD(per-ray data)가 가진 제$q$번 광선의 전기장 계수는 $\bar E_g$ = $\bar E_p(\theta_q, \phi_q)$로 둔다. 전기장 계수의 자료형인 complex3는 complex의 3차원 벡터 형태이다. 광선 발생 프로그램에서 광선은 물체를 고려하지 않고 모든 방향으로 골고루 혹은 무작위로 발사된다. 목적없이 임의로 발사하여 광선을 무작위로 추적하는 방식은 억지 광선 추적(brute-force ray tracing) 혹은 탈진된 광선 추적(exhausted ray tracing)이라 부른다. 여기서 제$q$번 광선이 발사되는 방향은 $(\theta_q, \phi_q)$로 생각하고, 발사하는 총광선 개수는 $Q$개라고 가정한다.
- 최근접 명중 프로그램(Closest-hit Program)
광선이 물체와 최근접 명중(closest hit)하면, 이 물체에서 수신 안테나가 보이는지 확인한다. 수신 안테나가 보이면 TE파와 TM파의 반사 계수인 $r_s$와 $r_p$를 광선이 가진 전기장 계수 $\bar E_g$에 곱하여 반사파를 만들고, 송신 안테나에서 수신 안테나까지의 경로 길이 $s$를 대입해서 전기장 $\bar E(s)$를 근사적으로 결정한다. 쉬운 공식화를 위해 TE파와 TM파의 반사 계수를 다이애드(dyad)로 확장한 다이애드 반사 계수(dyadic reflection coefficient) $\bar{\bar{r}}_E$를 도입한다.
(5)여기서 $\hat e_\parallel^i$와 $\hat e_\perp$는 각각 전기장 기준으로 설정한 입사 평면에 평행 및 수직인 단위 벡터, $\hat e_\parallel^r$은 전기장 기준 반사 평면에 평행한 단위 벡터이다. 그러면 송신 안테나에서 복사된 제$q$번 광선이 수신 안테나에 형성하는 전기장 $\bar E_q(s_q)$와 수신 전압(received voltage) $V_q(s_q)$는 다음과 같다.
(6a)
(6b)여기서 $(\theta_q, \phi_q)$와 $(\vartheta_q, \varphi_q)$는 각각 송신과 수신 안테나에서 물체를 보는 제$q$번 광선의 각도, $s_q$는 제$q$번 광선이 송신 안테나에서 수신 안테나까지 가는 경로 길이, $\bar L_e(\theta, \phi)$는 수신 안테나의 벡터식 유효 길이(vectorial effective length), 수신 전압을 최대로 얻기 위해 $\bar L_e^*(\theta, \phi)$를 쓰는 켤레 정합(conjugate matching)을 한다. 건물 벽의 유전 상수와 반사 계수가 변하는 특성은 [6], [10]을 참고할 수 있다. 벡터식 유효 길이 $\bar L_e(\theta, \phi)$의 크기 제곱은 수신 안테나의 유효 면적(effective area) $A_e(\theta, \phi)$ = $|\bar L_e(\theta, \phi)|^2$이 된다. 또한 수신 안테나의 유효 길이 $\bar L_e(\theta, \phi)$는 송신 안테나의 벡터식 복사 패턴 $\bar E_p(\theta, \phi)$와 선형적으로 비례한다.
(7)여기서 왼쪽과 오른쪽 식은 각각 전기장과 전력의 관계를 가진다.
[그림 2] 전자기 광선 추적에 쓰는 벡터의 정의
다만 식 (6)은 송신 광선(Tx ray)이 물체에서 반사되어 생기는 방향인 $\hat R$에서만 성립한다. [그림 2]처럼 수신기가 $\hat R$이 아닌 $\hat V$에 위치하면, 식 (5)보다 수신 전기장을 축소시켜야 한다. 그래서 퐁 반사 모형(Phong reflection model) 혹은 잘 알려진 포인팅의 정리(Poynting's theorem)에 따라, $\hat R$에서 벗어난 정도인 $\hat R \cdot \hat V$에 수신 전기장이 비례한다고 가정하여 식 (6)을 변형한다.
(8)여기서 $\alpha$는 수신 비율을 근사화하는 물체의 반짝임 상수(shininess constant)이다. 반사 광선(reflection ray)의 방향 $\hat R$은 $\hat n, \hat T$로 딱 정해진다.
(9)반짝임 상수 $\alpha$를 잘 모르면 단순하게 0.5로 둔다.[이렇게 두면 수신 전력이 내적 $\hat R \cdot \hat V$에 선형 비례한다.] 그 다음 단계로 물체에 의한 반사 광선을 다시 생성해서 발사하며, 이 반사 광선은 마치 송신 광선처럼 재귀적으로 처리한다. 이와 같이 제$q$번 반사 광선이 다시 반사 전기장 $\bar E_{rq}(s_{rq})$를 도출해서 우리가 얻기 원하는 수신 전기장 $\bar E_\text{rx}$에 모두 합산시킨다.
(10)여기서 제$q$번 반사파의 경로 길이 $s_{rq}$는 송신 안테나에서 현재 물체까지 오는 경로 길이 $t_q$를 시작값으로 해서 반사가 생길 때마다 경로 길이를 계속 축적한다. 쉽게 말해서 식 (8)에 유도한 송신 광선의 수신 전기장 $\bar E_q(s_q)$처럼, [그림 1,2]에 제시한 반사 광선이 다시 물체와 만나서 수신 안테나를 볼 수 있으면, 수신 전기장을 $\bar E_{rq}(s_{rq})$만큼 만든다고 생각한다.
[그림 3] 반사 광선의 시작점을 표현하는 영상 전원
(a) 송신기에 의한 제1차 영상 및 회절 전원
(b) 제1차 전원에 의한 제2차 영상 및 회절 전원
[그림 4] 건물 벽에 의해 생성된 영상 및 회절 전원(출처: [6])
식 (8)은 기하 광학에 기반을 두어서 좋은 근사이기는 하지만, 퐁 반사 모형을 쓰기 때문에 정말 물리적으로 타당한지는 의문이다. 내적 $\hat R \cdot \hat V$를 없애고 물리 모형을 더 정확하게 표현하기 위해, [그림 3]에 제시한 영상 전원(image source)을 써서 전자기 광선 추적을 구현한다[3]–[9]. 영상 전원은 반사 광선이 시작되는 점으로 가정하므로, [그림 3]처럼 실제 전원의 위치 $A$를 경계면에 대칭해서 영상 전원을 위치 $B$에 정의한다. 영상 전원이 완벽히 만들어지기 위해서는 무한히 넓은 평면 구조가 필요하지만, 파장에 비해 건물 벽이 충분히 크다고 가정해서 건물 벽의 반대편에 영상 전원이 근사적으로 형성된다고 생각한다. 그러면 반사 광선이 $B$에서 나온다고 생각해서, 수신 안테나가 어디에 있든지 $\hat R \cdot \hat V$를 쓰지 않고 전기장을 계산할 수 있다. 대신 CG용 광선 추적과는 다르게 영상 전원을 중심으로 자료 구조를 구성해야 한다[3]–[6]. 예를 들어, 송신기(transmitter, Tx)가 만드는 전자파에 의한 건물 벽의 영상 전원을 보여주는 [그림 4(a)]를 고려한다. 송신기를 마주하는 벽은 2면이 있으므로, 영상 전원도 2개를 구성한다. 즉, 송신기와 마주보는 벽 #4에 의한 영상 전원은 #1[그림 4(a)에서 tube1으로 표기]이고, 벽 #5는 영상 전원 #2[그림 4(a)에서 tube2]를 등가적으로 발생시킨다.
영상 전원을 사용함으로써 얻어지는 또 하나의 장점은 회절(回折, diffraction) 처리에 있다. 손실 금속에 대한 회절 계수(diffraction coefficient)[11]까지 이미 근사적으로 공식화되었기 때문에, 전자파의 회절 계산은 간단한 연습 문제가 된다. 하지만 전자기 광선 추적에서 회절을 계산하기에는 엄청난 난관이 숨어있다. 전자파가 모서리(edge)에 입사하면 당연하게 회절이 생기지만, 모든 모서리마다 회절 계산용 광선이 들어와야 해서 광선 추적을 재귀 호출할수록 사용하는 광선이 기하 급수적으로 증가해서 계산 불능에 쉽게 빠진다. 이 문제를 영상 전원은 쉽게 해결할 수 있다. 영상 전원에 바탕을 둔 전자기 광선 추적은 억지 광선 추적(brute-force ray tracing)을 하지 않고, 건물 벽에 의해 형성된 영상 전원만 다루므로 회절을 고려해도 광선 개수가 기하 급수적으로 증가하지 않는다. 쉽게 말해 모서리가 있더라도 송신기 혹은 영상 전원에서 모서리로 가는 광선만 처리하므로, 회절까지 포함한 광선 추적의 계산량이 아주 크게 늘어나지 않는다. 이 개념을 이해하기 위해 [그림 4(a)]를 다시 본다. 송신기에서 모서리 a, d, e로 가는 광선은 회절을 만드는 원천인 회절 전원(diffraction source) #3, #4, #5[그림 4(a)에서 tube3, tube4, tube4로 표시]를 각각 생성한다. 이 회절 전원을 다시 시작점으로 삼아서 전자파의 전파 환경을 분석한다. 또한 [그림 4(b)]처럼 송신기가 만드는 제1차 전원은 다시 새로운 원천이 되어서 건물 벽과 모서리에 의한 제2차 영상 및 회절 전원을 재귀적으로 만든다. 예를 들어, 영상 전원 #2는 벽 #3에서 반사되므로 제2차 영상 전원 #6을 도출한다. 비슷하게 영상 전원 #1은 벽 #5에 따라 제2차 영상 전원 #7를 생성시킨다. 추가로 영상 전원 #2는 모서리 a, d에 제2차 회절 전원 #8, #9도 만든다.
(a) 건물 사이에 존재하는 송신기와 수신기
(b) 광선 추적을 위한 자료 구조 예시
[그림 5] 영상 전원을 쓰는 전자기 광선 추적의 자료 구조 구성 방식(출처: [3])
영상 및 회절 전원을 도입한 전자기 광선 추적을 위한 자료 구조(data structure)의 구성 방식을 이해하기 위해 [그림 5]를 꼼꼼히 관찰한다. 먼저 영상이나 회절 전원이 생기기 위해서는 광선 시작점에서 건물 벽이나 모서리가 보여야 한다. [그림 5(a)]의 송신기 관점에서 비출 수 있는 벽이나 모서리는 벽 #2, #16, 모서리 #1, #3, #9이다. 이 위치를 [그림 5(b)]와 같이 트리 혹은 나무(tree) 자료 구조의 마디(node)로 설정한다. 그 다음에 각 마디에 대해서 다시 재귀적으로 광선이 도달할 수 있는 벽이나 모서리를 추적한다. 모서리 #1는 모서리 #9와 벽 #16, 벽 #2도 모서리 #9와 벽 #16를 볼 수 있다. 모서리 #3은 더 많은 영역에 광선을 전파할 수 있어서 모서리 #9, #16, 벽 #16, 수신기(receiver, Rx)까지 전파를 전송한다. 이를 계속 확장해서 광선 추적용 자료 구조를 형성한 최종 결과는 [그림 5(b)]에 정리되어 있다. 물론 건물 벽이 반사하는 광선은 [그림 3, 4]와 같은 영상 전원으로 처리하고, 회절되는 광선은 회절 전원으로 간주하여 계산한다.
[참고문헌]
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[다음 읽을거리]
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