2022년 7월 22일 금요일

가우스 광학(Gaussian Optics)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "가우스 광학"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[렌즈와 굴절 소개]

수학자 가우스Carl Friedrich Gauss(1777–1855)가 기여한 기하 광학(geometrical optics)의 특별한 경우를 가우스 광학 혹은 가우스식(式) 광학(Gaussian optics)이라 부른다. 가우스는 광학계(光學系, optical system)를 손쉽게 분석하기 위해 3가지 주요점(主要點, cardinal point)을 제안했다. 가우스 광학에 사용되는 주요점은 광학계를 규정하는 광축(optical axis)에 존재하는 중요한 점이다. 여기서 광축은 광학계가 가진 회전 대칭성(rotational symmetry)을 표현하는[회전 대칭성의 중심을 따라가는] 선이다. 가우스가 제안한 주요점 3개는 초점(焦點, focal point or focus), 주점(主點, principal point), 절점(節點, nodal point)이다. 

(a) 전방과 후방에 생긴 초점과 주점

(b) 전방 및 후방 절점
[그림 1] 초점, 주점, 절점의 정의(출처: wikipedia.org)

유명한 용어인 초점은 이름에서도 알 수 있듯이 불 태우는 점이며, 아주 먼 곳에서 광학계로 들어온 빛이 한 곳으로 모이는 한 점이다. 빛이 모이기 때문에 불을 붙이기 좋은 위치가 되므로 초점이라 부른다. [그림 1(a)]에 보인 렌즈(lens)에는 전방과 후방에 $F$와 $F'$로 표기된 초점이 하나씩 있다. 파면에 수직으로 빛이 직선으로 움직이는 경로인 광선(光線, ray)빨간색 화살표 표시한다. 여기서 점 $F$와 $F'$을 지나는 점선이 광축이며, 광축을 기준으로 렌즈를 돌리면 회전 대칭성이 보인다. 초점을 포함하면서 광축에 수직인 평면은 초점면(focal plane)이라 한다. 전방 초점(front focal point)에서 나온 광선은 렌즈에 의해 광축과 평행인 직사광선으로 바뀐다. 광축에 평행하게 렌즈로 들어온 광선이 렌즈를 통과하면, 이 광선은 후방 초점(back focal point)에 집중된다. 가우스 광학에서 초점에 모이는 광선은 면적이 없는 점 하나로 수렴한다.[현실에서는 당연히 불가능하지만, 단순화를 위해 필요한 근사이다.]
[그림 1(a)]에서 전방 및 후방 주점(front and back principal points) $P$와 $P'$은 스넬의 법칙(Snell's law) 때문에 생긴다. 광선이 렌즈로 입사하면 스넬의 법칙에 따라 굴절한다. 렌즈속에서 진행하던 광선은 공기로 빠져나갈 때 다시 굴절한다. 그래서 렌즈에 들어간 광선은 [그림 1(a)]처럼 정확히 두 번 꺾인다. 최대한 단순화하기 위해, 가우스 광학에서는 [그림 1(a)]의 빨간색 점선처럼 렌즈 내부에서 광선은 딱 한 번만 구부러진다고 근사화한다. 광축에 수직이면서 모든 광선이 한 번만 꺾이는 점들을 가진 평면은 주점면(principal plane)이라 부른다. 주점면은 렌즈의 특성을 규정하는 기준 평면이다. 이 주점면이 광축과 만나는 점은 렌즈의 기준이 되는 주점이다. 주점은 초점과의 거리를 정할 때 매우 요긴하다. 렌즈와 초점과의 거리인 초점 거리(focal length)를 가시적으로 정할 때는 정점(頂點, vertex)이 편리하다. 정점은 광축과 렌즈의 표면이 만나는 꼭대기 점이고, [그림 1(a)]에 있는 $V$와 $V'$의 기호처럼 전방과 후방에 하나씩 있다. 전방 초점과 전방 정점의 길이는 전방 초점 거리(front focal length, FFL) 혹은 제1 초점 거리(the first focal length)라 한다. 당연히 후방 초점 거리(back focal length, BFL)제2 초점 거리(the second focal length)는 후방 초점과 후방 정점 사이의 길이이다. 다만 정점으로 초점 거리를 정의하면, 쉽기는 하기는 광선의 특성을 제대로 반영하지 못한다. 그래서 초점과 주점 사이의 길이인 유효 초점 거리(effective focal length, EFL)를 정의함으로써 렌즈 내부에서 근사적으로 광선이 굴절되어 광선이 수렴 혹은 발산되는 특성을 거의 정확하게 계산한다. 만약 렌즈 구경에 비해 두께가 매우 얇다면, 주점 및 정점 $P, P', V, V'$은 동일점으로 근사한다.
전방 및 후방 절점(front and back nodal points) $N$과 $N'$을 정의하고 있는 [그림 1(b)]를 고려한다. 광선이 렌즈에 입사하여 다시 빠져나가는 경로를 보면, [그림 1(a)]처럼 광선은 렌즈 내부에서 두 번 꺾인다. 주점과 같은 단순화를 위해 광선은 렌즈 표면에서 구부러지지 않고 광축까지 직진한다고 가정한다. 이때 여러 광선 중에서 렌즈에 들어온 각과 렌즈를 나간 각이 $\theta$로 서로 같은 광선을 [그림 1(b)]처럼 선택한다. [그림 1(b)]에서 실선인 광선이 광축과 만나는 점은 광심(光心, optical center)이 되고, 점선인 가상 광선이 광축과 만나는 점은 바로 절점이다. 얇은 렌즈에서는 $N$과 $N'$이 같다고 생각하므로, 광중심을 통과하는 광선은 구부러지지 않은 그냥 직선으로 간주된다. 초점, 주점, 절점의 정의에 기반을 둔 가우스 광학의 광선이 이동하는 규칙은 다음과 같다.
  • 동일 매질을 전파할 때에 광선은 직선 경로를 따르고, 거울(mirror)이나 굴절기(refractor)를 만나면 각각 반사 및 굴절 법칙에 따라 경로가 직선 형태로 바뀐다.
  • 굴절기의 광심을 지나는 광선은 입사와 투과 각도가 같다.
  • 초점에서 나온 광선이 굴절기를 통과하면 광축과 평행한 직선이 된다.
  • 광축과 평행하게 입사한 광선은 굴절기를 통과한 후 초점에 모인다. 
가우스 광학은 빛의 반사 및 굴절을 정확하게 예측하기보다 근사이지만 직관적이고 간단한 결과식을 도출하려는 목적으로 사용한다. 그래서 가우스 광학은 근축 근사(近軸近似, paraxial approximation)를 기본적으로 사용한다. 근축 근사는 광축 근방으로 입사하는 광선에서만 잘 맞는 근사이다. 여기서 광축을 따라가는 광선은 축 광선(光線, axial ray), 광축 근처에 있는 광선은 근축 광선(近軸光線paraxial ray)이라 이름 붙인다. 근축 근사에서 광선 처리에 사용하는 삼각 함수는 다음처럼 근사화된다.

                  (1)

코사인 함수를 더 잘 근사할 때는 테일러 급수(Taylor series)를 이용해 식 (1)의 둘째식에 2차항까지 포함시킨다.

                  (2)

식 (1), (2)와 같은 근축 근사를 가우스 광학에 적극적으로 사용하므로, 가우스 광학을 근축 광학(近軸paraxial optics)으로 명하기도 한다. 가우스 광학에서 사용하는 식 (1)의 근사에 따라 스넬의 법칙을 간략화한다.

                  (3)

그 다음 단계로 삼각 함수 없는 단순한 곱셈을 가진 스넬의 법칙인 식 (3)을 도구로 활용해서 광학계에 가우스 광학을 적용한다. 

[그림 2] 렌즈에 의해 집속되는 직사광선(출처: wikipedia.org)

[그림 3] 구면 굴절기에 입사하여 굴절되는 광선

가우스 광학에 가장 기본이 되는 구면 굴절기(spherical refractor)의 굴절 방정식을 유도한다[3]. 구면 굴절기는 [그림 2]에 보인 렌즈에 기본적으로 사용된다. 렌즈는 납작한 콩인 편두(扁豆)를 닮아서 편두의 라틴어 이름인 렌즈(lens)를 [그림 2]처럼 빛을 모아주는 광학 기기의 이름으로 선택했다. [그림 3]에 있는 구면 굴절기의 내부와 외부 매질에 존재하는 굴절률은 각각 $n_2, n_1$으로 생각한다. 광축(optical axis)과 광선 경로가 함께 만드는 삼각형에 정의된 각도 관계는 다음과 같다.

                  (4)

                  (5)

여기서 $r$은 구면 굴절기의 반지름이다. 식 (4)와 (5)를 식 (3)에 유도한 근사화된 스넬의 법칙에 대입해서 정리하면, 매우 쉽게 구면 굴절기의 굴절 방정식(refraction equation of spherical refractor)을 얻을 수 있다. 

                  (6)

광원을 무한대로 보내기 위해 $s \to \infty$를 취한다. 그러면 가우스 광학에 의해 $f$ = $s'$이 되므로, 초점 거리 $f$에 대한 구면 굴절기의 굴절 방정식도 새롭게 공식화된다.

                  (7)

구면 굴절기의 초점은 굴절기의 굴절률에 따라 심하게 변한다. 다만 식 (1)을 사용한 식 (6), (7)은 광축 근처에서만 잘 성립하고 광축을 벗어나면 오차가 많이 생긴다.

[그림 4] 구면 거울에 입사하여 반사되는 광선

[그림 4]는 구면 거울(spherical mirror)에 입사하여 반사 법칙(law of reflection)에 따라 변하는 광선의 경로를 보여준다. 광축을 기준으로 여러 직선 경로가 만드는 삼각형은 다음 각도 관계를 만족한다.

                  (8)

식 (8)에 식 (4)를 대입해서 간소화하면, 구면 거울의 반사 방정식(reflection equation of spherical mirror)을 구할 수 있다.

                  (9)

구면 거울의 초점 거리 $f$ = $s'$를 구할 때는 $s \to \infty$를 적용해서 초점 거리 $f$에 대한 구면 거울의 반사 방정식도 만든다.

                  (10)

특이하게도 구면 거울의 초점은 반지름의 반인 위치에 존재한다. 하지만 이 초점은 모든 경우에 성립하는 만능 점이 아니고, 식 (1)이 성립하는 광축 근방에서만 맞다.

[그림 5] 볼록 및 오목 렌즈가 만드는 상과 배율(출처: wikipedia.org)

가우스 광학은 기하 광학의 부분 집합이라서 가우스 광학의 모든 결과를 기하학적으로 설명할 수 있다. 하지만 현상이 복잡해지면 기하학을 적용하기가 너무 어렵기 때문에, 식 (7), (10)과 같은 대수 방정식으로 광선의 수렴과 발산을 더 쉽게 예측한다. 다만 대수 방정식을 효율적으로 계산하기 위해서는 $s, s', f, r$에 대한 부호 약속(sign convention)이 꼭 필요하다. 먼저 편의성을 위해 입사 광선은 [그림 3, 4]처럼 항상 왼쪽에서 오른쪽으로 들어온다고 가정한다. 부호 기준으로 광선의 원점(origin)은 광심이다. 굴절기의 광심은 절점으로 찾고, 거울의 광심은 광축과 거울이 만나는 점이다. 원점 정의에 기반을 두고, 광선이 원점으로 들어가는(incoming) 편과 원점을 떠나는(outgoing) 편을 다시 정의한다.[그림 5에서 왼쪽이 들어가는 편, 오른쪽이 떠나는 편] 들어가는 편의 반대편이 항상 떠나는 편이지는 않다. [그림 4]를 보면 들어가는 편과 떠나는 편은 반대편이 아니고 같은편이다.[그림 4에서는 광선이 들어가고 떠나는 편이 모두 왼쪽]

[표 1] 가우스 광학의 매개변수를 위한 부호 약속[3]
Parameter
(매개변수)
Name
(이름)
($+$) 경우($-$) 경우
$s$물체 거리
(object distance)
광선이 원점으로 들어가는 편에 위치
[혹은 원점 기준으로 물체가 왼쪽에 위치]
($+$)와는 반대편에 위치
[혹은 원점 기준으로 물체가 오른쪽에 위치]
$s'$상 거리
(image distance)
광선이 원점을 떠나는 편에 위치
[원점 기준으로 왼쪽 혹은 오른쪽에 위치]
($+$)와는 반대편에 위치
[원점 기준으로 왼쪽 혹은 오른쪽에 위치]
$h$높이
(height)
물체나 상이 위를 보며 똑바로 섬물체나 상 아래를 보며 거꾸로 섬
$M$횡배율
(lateral magnification)
똑바로 선 물체의 상이 위를 보며 똑바로 섬똑바로 선 물체의 상이 아래를 보며 거꾸로 섬
$r$곡률 반경
(radius of curvature)
광선이 원점을 떠나는 편에 구의 중심이 위치($+$)와는 반대편에 위치
$f$초점 거리
(focal length)
광선이 원점을 떠나는 편에 초점이 위치($+$)와는 반대편에 위치

높이를 가진 물체가 거울이나 굴절기에 의해 변화된 모양은 (像, image)이라 한다. [그림 5]의 볼록 렌즈는 광선이 원점을 떠나는 방향으로 실제 상인 실상(實像, real image)을 만든다. 오목 렌즈는 광선을 발산시키지만, 광선을 거꾸로 따라가보면[혹은 원점을 떠나는 방향과 반대로 가면] 가짜이기는 하지만[∵ 광선이 그 점에서 나오지 않는다.], 상 자체를 인지할 수 있어서 허상(虛像, virtual image)이라 부른다. 기하 광학에서 배율(倍率, magnification)은 다양하게 정의되지만, 보통은 횡배율(橫倍率, lateral or transverse magnification)을 의미한다. 횡배율은 물체의 높이[높이 방향은 광축에 수직]에 대한 상의 높이 비율이다. [그림 5]에서 볼록 렌즈의 실상은 거꾸로 서있으므로, 음수가 되는 배율 $M$의 관계식은 다음과 같다.

                  (11)

여기서 [표 1]에 따라 $h_i < 0$, $d_i$ = $s'$ $>$ $0$, $f > 0$이다. 반대로 오목 렌즈는 허상은 위를 보며 제대로 서있어서 $M$은 양수이며, $h_i > 0$, $d_i$ = $s'$ $<$ $0$, $f < 0$도 성립한다.

(a) 렌즈의 종류: 양볼록, 평볼록, 양반월, 음반월, 평오목, 양오목 순서

(b) 렌즈의 모양과 곡률 반경의 부호
[그림 6] 렌즈의 다양한 특성(출처: wikipedia.org)

[그림 6]에 제시된 형상처럼 다양한 모양을 가진 렌즈는 다양한 곡률 반경(radius of curvature)과 부호를 만들어낸다. [그림 6(a)]에 있는 렌즈의 구체적인 이름은 양볼록(biconvex or double convex), 평볼록(plano-convex or planar convex), 양반월(陽半月, positive meniscus) 혹은 볼록 반월(convex meniscus), 음반월(陰半月, negative meniscus) 혹은 오목 반월(concave meniscus), 평오목(plano-concave or planar concave), 양오목(biconcave or double concave)이다. 양볼록 렌즈는 양면이 모두 볼록 렌즈이고, [표 1]에 따라 양쪽 렌즈에 형성된 곡률 반경의 부호를 정한다. 곡률 반경 $r_1$을 기준으로 보면, 광선이 떠나는 편[렌즈 내부]에 구의 중심이 있어서 $r_1 > 0$이다. 반대편에 있는 $r_2$는 광선이 떠나는 편이 공기이고 구의 중심은 렌즈 내부에 있으므로 $r_2 < 0$이다. 양볼록과 정반대 모양인 양오목 렌즈에 있는 곡률 반경의 부호는 정반대이다. 오목 렌즈에 광선이 입사하는 경우, 광선이 떠나는 편은 당연히 렌즈 내부이고 구의 중심은 공기에 있다. 그래서 [표 1]에 따라 $r_1 < 0$이 되어야 한다. 반면에 렌즈를 투과한 광선이 떠나는 편은 공기 영역이고 구의 중심까지 있어서 $r_2 > 0$이 된다.


   1. 거울(mirror)   

[그림 1.1] 평면 거울에 비친 상(출처: wikipedia.org)

[평면 거울(plane mirror)]
평면 거울의 상 거리는 $s'$ = $-s$이다.

[증명]
평면 거울의 곡률 반경 $r$은 무한대이고 언제나 식 (10)은 성립해야 하므로, $s'$ = $-s$가 된다.
______________________________

평면 거울에서 상 거리 $s'$은 물체 거리 $s$와 같지만 부호가 반대이어서, [그림 1.1]처럼 거울 속의 물체는 마치 거울 내부에 있는 것처럼 느껴진다.


   2. 굴절기(refractor)   

[평면 굴절기(plane refractor)]
평면 굴절기의 상 거리는 $s'$ = $-(n_2 / n_1) s$이다.

[증명]
곡률 반경 $r$이 무한대인 평면 조건을 식 (7)에 대입해서 증명한다.
______________________________

[얇은 렌즈의 굴절 방정식(refraction equation of thin lens)]

                  (2.1)

[증명]
[그림 5]와 식 (11)에 나온 닮은 삼각형의 비례 관계로부터 $s'/f - 1$ = $s'/s$이다. 이 관계를 정리해서 식 (2.1)을 얻는다.
______________________________

식 (2.1)은 가우스(式) 렌즈 공식(Gaussian lens formula)이라고도 부른다. 초점과 물체 및 상 거리의 차이를 표현하는 매개변수를 각각 $x$ = $s - f$, $x'$ = $s'-f$로 정의한 후, 식 (2.1)을 더 간략화해서 뉴턴식(式) 렌즈 공식(Newtonian lens formula)으로 바꿀 수 있다.

                  (2.2)

가우스식과 뉴턴식 렌즈 공식은 동일하지만 매개변수만 약간 다른 형태이다. 식 (2.1)에 나온 초점 거리를 결정하는 공식은 유명한 렌즈 제작자의 방정식(lensmaker's equation)이다.

[그림 2.1] 얇은 렌즈의 초점과 곡률 반경

[렌즈 제작자의 방정식(lensmaker's equation)] [3]

                  (2.3)

여기서 $n_1 < n_2$이다.

[증명]
[그림 2.1]에서 곡률 반경이 $r_1$과 $r_2$인 렌즈에 대해 식 (6)을 각각 적용한다.

                  (2.4)

여기서 렌즈의 두께는 매우 얇아서 $r_1$의 왼쪽에 있는 물체가 만드는 상은 $r_2$를 기준으로 다시 물체가 되어서 렌즈를 투과한 상을 만든다. [그림 2.1]과 같은 초점 거리를 만들기 위해, 먼저 $s_1 \to \infty$로 둔다.

                  (2.5)

얇은 렌즈의 조건으로 인해 거리 $s_1'$과 $s_2$의 관계는 독립이 아니고 종속적이다. 먼저 $r_1$을 가진 왼쪽 렌즈가 오목해서 $r_1 < 0$이라 가정한다. 그러면 음수인 상 거리 $s_1'$은 렌즈의 왼쪽에 생긴다. 이 상은 다시 오른쪽 렌즈에 대한 물체가 되고, 광선이 들어가는 편에 있어서 $s_2$의 부호는 양수가 된다. 따라서 상 거리와 물체 거리의 크기는 서로 같고 부호는 다르므로, 항상 $s_2$ = $-s_1'$이 성립한다. 증명을 위해 식 (2.5)를 식 (2.4)의 둘째식에 대입해서 정리한다.

                  (2.6)

왼쪽 렌즈가 오목하지 않고 볼록한 경우는 $r_1 > 0$이다. 양수인 $r_1$은 광선이 떠나는 편에 $s_1' > 0$인 상을 구성한다. [표 1]을 기반으로 오로지 수학적으로만 판단하면, 왼쪽 렌즈의 상을 오른쪽 렌즈에 대한 가상 물체(virtual object)로 간주한다. 이 가상 물체는 광선이 들어가는 편의 반대에 있어서 $s_2 < 0$이 된다. 결국 왼쪽이 볼록 렌즈라 하더라도 $s_2$ = $-s_1'$이 성립해서 식 (2.6)이 잘 맞는다.
______________________________

가상 물체는 왼쪽이 볼록한 얇은 렌즈에 생기는 굴절을 표현한다. 광선이 볼록한 왼쪽 렌즈를 통과해서 오른쪽 렌즈로 갈 때, 왼쪽 렌즈가 만드는 상은 오른쪽 렌즈의 너머인 $s_1'$에 생긴다. 이 상을 만드는 광선은 당연히 오른쪽 렌즈에서 재굴절되어 새로운 상을 $s_2'$ 위치에 만든다. 이 과정에서 물체와 상의 광선 방향을 거꾸로 보면 식 (6)이 쉽게 적용된다.[스넬의 법칙이든 식 (6)이든 광선 방향을 바꾸어도 똑같이 성립한다.] 마치 $s_2'$에 위치한 물체가 광선을 발사하여 오른쪽 렌즈에서 굴절되어 발산하는 광선을 만든다고 생각할 수 있다. 발산하는 광선의 허상이 바로 가상 물체이다. 왜냐하면 광선 방향을 바꾸어서 굴절 과정을 설명하고 있기 때문에, 이 허상은 광선이 나오는 물체가 되지만 굴절로 인해 그 위치에 존재하지 않기 때문이다. 그래서 $s_2$가 음수인 이상한 성질을 가진 물체는 바로 가상 물체가 된다.

[그림 2.2] 두꺼운 렌즈의 구조

[두꺼운 렌즈용 렌즈 제작자의 방정식(lensmaker's equation for thick lens)]

                  (2.7)

여기서 초점 거리 $f$는 후방 주점 $P'$부터 재며, $d$는 렌즈의 두께이다.

[증명]
전방 정점 $V$ 및 후방 정점 $V'$부터 각각 정의한 상 거리 $s_1'$ 및 물체 거리 $s_2$는 [그림 2.2]에 따라 $s_1'$ = $d - s_2$, $s_2$ = $d-s_1'$이다. 왜냐하면 식 (2.2)의 증명에서 논의한 대로 $s_1'$과 $s_2$는 부호가 다르기 때문이다. [그림 2.2]에 예시적으로 보인 왼쪽 렌즈는 볼록 렌즈라서 오른쪽 렌즈의 물체는 가상 물체가 된다. 먼저 광축에 평행하게 들어오는 광선은 왼쪽 렌즈에서 굴절되어 식 (2.5)에 나온 상 거리 $s_1'$에 상을 만든다. [그림 2.2]의 구조를 가지고 오른쪽 렌즈에 대해 식 (2.6)을 다시 기술한다.

                  (2.8)

두꺼운 렌즈의 초점 거리 $f$를 구하기 위해, [그림 2.2]에 있는 닮은 삼각형 $\triangle ADV$ $\backsim$ $\triangle BDV'$와 $\triangle H'CP'$ $\backsim$ $\triangle BCV'$에 집중한다. 잘 알려진 닮은 삼각형의 단순한 비례에 따라 다음 방정식이 구해진다.

                  (2.9)

식 (2.9)에 식 (2.5)와 (2.8)을 대입해서 깔끔하게 정리한다.

                  (2.9)
______________________________

렌즈의 두께가 아주 작아지면, 두꺼운 렌즈 방정식은 식 (2.3)에 있는 렌즈 제작자의 방정식이 된다. 또한 식 (2.3) 혹은 (2.7)로 계산하는 초점 거리 $f$는 두 종류의 굴절기가 형성하기 때문에, 두 유효 초점 거리를 합산한 전체 초점 거리(total focal length)이다.

[굴스트란드의 방정식(Gullstrand's equation)]

                  (2.10)

여기서 $f_1, f_2$는 각각 첫째와 둘째 유효 초점 거리이다.

[증명]
두꺼운 렌즈용 렌즈 제작자의 방정식인 식 (2.7)을 다음과 같이 변형한다.

                  (2.11)

여기서 구면 굴절기의 유효 초점 거리는 식 (7), 서로 부호가 다른 $s_1'$과 $s_2$로 인해 $f_1$과 $f_2$의 부호도 달라진다.
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[그림 2.3] 웁살라 대학교의 모습(출처: wikipedia.org)

스웨덴의 유서 깊은 대학교인 웁살라 대학교(University of Uppsala)의 굴스트란드Allvar Gullstrand(1862–1930) 교수가 식 (2.10)을 제안했다.[동식물의 학명을 붙이는 방법을 제안한 린네, 우리가 쓰는 섭씨를 발명한 셀시우스 등이 웁살라 대학교의 교수였다. 또한 웁살라 대학교의 노벨상 수상자는 8명이다.] 안경 광학의 대가이자 노벨상 수상자인 굴스트란드는 본인의 업적도 유명하지만, 아인슈타인Albert Einstein(1879–1955)이 상대성 이론으로는 노벨상을 받지 못하도록 했던 악마의 대변인(devil's advocate)으로도 알려져있다.


[참고문헌]
[1] R. Fitzpatrick, Paraxial Optics, Electromagnetism and Optics, University of Texas at Austin, USA, 2007. (방문일 2022-07-23)
[2] 홍경희, 제3장 가우스 광학, 기초광공학, 상학당, 2012.
[3] T. Weideman, Waves, Sound, Optics, Thermodynamics, and Fluids, University of California, Davis, USA, 2019. (방문일 2022-07-23)
[4] 이상수, 기하광학, 교학연구사, 1985.
[5] C. A. Fernandes, E. B. Lima, J. R. Costa, Dielectric Lens Antennas, Handbook of Antenna Technologies, Singapore: Springer, 2016.

[다음 읽을거리]

2022년 7월 17일 일요일

프레넬 방정식(Fresnel Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "프레넬 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

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(a) 이중 실틈에 의한 간섭 무늬

 
(b) 이중 실틈의 구조
[그림 1] 영의 이중 실틈 실험(출처: wikipedia.org)

[그림 2] 평면파가 만드는 이중 실틈의 간섭 특성(출처: wikipedia.org)

백년 이상 지속된 빛의 입자론(wave theory)과 미립자론(corpuscular theory)의 경쟁에서, 빛이 파동이라는 증명을 확실히 한 결과는 1802년영 29세, 조선 순조 시절에 영Thomas Young(1773–1829)이 수행했던 이중 실틈 실험(double-slit experiment) 혹은 영의 실험(Young's experiment)이다[1]. 이중 실틈의 간섭 무늬와 자세한 구조는 [그림 1, 2]에 있다. 긴 틈의 너비 $a$가 파장 $\lambda_0$에 비해 매우 좁은 경우[$a \ll \lambda_0$]는 점 전원(point source)으로 간주할 수 있다. 동위상을 가진 두 점 전원이 원역장(遠域場, far field)에서 만드는 전체 전기장 $E_\text{tot}(x, y)$는 다음과 같은 비례 관계를 가진다.

                  (1)

여기서 $k_0$는 진공중의 파수(wavenumber), $\rho_1$ = $\sqrt{x^2 + (y-d/2)^2}$, $\rho_2$ = $\sqrt{x^2 + (y+d/2)^2}$이다. 원역장 조건(far-field condition)으로 인해 식 (1)은 다시 간략화된다.

                  (2)

여기서 $\sin \theta$ = $y/\rho$, $\rho$ = $\sqrt{x^2 + y^2}$이다. 전자파 원천에서 복사되는 단위 입체각당 복사 선속 혹은 전력(radiant flux or power)을 나타내는 복사 세기(radiant intensity) $I_e(\theta)$는 포인팅 벡터(Poynting vector)로 계산한다.[$I_e(\theta)$의 $e$는 에너지를 의미] 그래서 식 (2)에 의해 복사 세기는 $\theta$의 함수가 된다.

                  (3)

복사 세기가 가장 강해지는 각도 $\theta$는 $\pi d \sin \theta / \lambda_0$ = $n \pi$를 만족해야 하므로, 보강 간섭(constructive interference) 조건은 다음처럼 얻어진다.

                  (4)

여기서 $n$ = $0, \pm 1, \pm 2, \cdots$이다. 따라서 이중 실틈 실험이 잘 되려면, $d > a$인 조건에서 긴 틈의 너비 $a$와 이중 실틈의 간격 $d$를 최대한 좁혀야 한다.
긴 틈의 너비 $a$가 파장 $\lambda_0$에 비해 무시할 수 없는 크기를 가진 경우는 틈에 유기되는 전기장의 위상을 모두 고려해야 한다. 쉽게 접근하기 위해 이중 실틈이 아니고 $y$ = $0$에 위치한 단일 틈이 복사하는 전기장을 고려한다. 넓은 너비를 가진 긴 틈의 내부에서는 전기장의 위상이 변하기 때문에, 위상을 포함한 적분을 새롭게 정의한다. 다음 단계로 틈의 내부에 생기는 미소 점 전원의 기여에 의한 전기장의 복사 패턴 $P_0(x, y)$를 계산한다.

                  (5)

여기서 $R$ = $\sqrt{x^2 + (y-y')^2}$, $\operatorname{Sa}(\cdot)$는 표본화 함수(sampling function), 미소 점 전원의 크기는 $a \ll \lambda_0$인 조건에서 $1$이 되도록 $dy' \mathbin{/} a$로 선택한다. 식 (5)에서 $a \ll \lambda_0$로 둔 경우, 복사 패턴(radiation pattern) $P_0(x, y)$는 식 (1)에 나온 $e^{i k_0 \rho}$에 수렴한다. 따라서 전체 전기장과 복사 세기는 $\theta$에 대해 다음 비례 관계를 가진다.

                  (6)

[그림 1(b)]처럼 이중 실틈에서 회절된 빛을 균일 평면파로 가정함으로써 원역장에서 간편하게 산란 특성을 계산하는 기법은 프라운호퍼 회절(Fraunhofer diffraction)이라 불린다. 식 (5)는 잘 알려진 푸리에 변환(Fourier transform) 공식이라서, 프라운호퍼 회절에 따르면 원역장의 전자장은 근역장 분포의 푸리에 변환과 동일하다. 그래서 [그림 1]과 같은 1차원이 아닌 2차원 모양[사각형, 원형 등]으로 틈이 구성되더라도 2차원 푸리에 변환을 적용해 원역장을 쉽게 공식화할 수 있다. 프라운호퍼 근사를 사용하여 산란이나 회절 특성을 도출한 결과물은 프라운호퍼 회절 적분(Fraunhofer diffraction integral)으로 명한다. 식 (3)과 (6)은 이중 실틈을 조건으로 유도한 프라운호퍼 회절 적분이다.
이중 실틈 실험은 빛의 파동론을 지지하는 강력한 증거이지만, 과학 역사상 최고 천재인 뉴턴이 주장했던 빛의 미립자론을 붕괴시키기에는 조금 부족한 점이 있었다. 빛의 미립자론을 무덤에 확실히 매장한 과학자는 프레넬Augustin-Jean Fresnel(1788–1827)이다. 빛이 횡파(橫波, transverse wave) 혹은 가로파라는 조건과 편파(偏波, polarization) 개념을 도입해서, 프레넬은 경계면에서 빛의 반사와 투과를 지배하는 프레넬 방정식(Fresnel equation)을 1821년프레넬 33세, 조선 순조 시절에 제안했다[2].

[그림 3] 경계면에서 반사 및 투과하는 전자파

[그림 4] 공기에서 유리로 갈 때의 반사율과 투과율(출처: wikipedia.org)

[그림 5] 유리에서 공기로 갈 때의 반사 및 투과 계수(출처: wikipedia.org)

프레넬은 어렵게 유도했지만, 이제는 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)을 이용해서 엄밀하게 프레넬 방정식을 증명할 수 있다. 프레넬 방정식의 공식화를 위해서는 전자파의 편파를 정의해야 한다. 먼저 입사파, 반사파, 투과파가 모두 존재하는 영역은 입사 평면(plane of incidence)이라 한다. [그림 3]에서는 모든 파동이 존재하는 $xy$평면이 입사 평면이다. 이 입사 평면을 가로지르는 혹은 수직인 방향[그림 3 기준 $z$축]에만 전기장(electric field)이 있는 파동은 TE(電氣, 횡전기 혹은 가로 전기, Transverse Electric)파라고 한다.[$E_z \ne 0$, $E_x$ = $E_y$ = $0$] 혹은 TE파는 경계면[그림 3에서 $zx$평면]에만 전기장이 있고, 경계면에 수직 방향[그림 3에서 $y$방향]으로는 전기장이 없는 파동이다. 다른 측면으로 TE파의 자기장(magnetic field)은 입사 평면의 어디에나 존재할 수 있다. 그래서 TE파는 입사 평면과 전기장에 집중해서 파동을 구분한다. TE파와 비슷하지만 차별화되는 TM(氣, 횡자기 혹은 가로 자기, Transverse Magnetic)파도 있다. TM파는 입사 평면에 수직인 방향[그림 3 기준 $z$축]에만 자기장이 있어서, 모든 자기장이 경계면을 이루는 평면[그림 3에서 $zx$평면]에 존재하고 수직 방향[그림 3에서 $y$방향]으로는 자기장이 $0$이다.[$H_z \ne 0$, $H_x$ = $H_y$ = $0$] 전기장은 입사 평면에만 위치할 수 있다. 또한 편파는 전기장으로 판별하므로, 입사 평면에 전기장이 수직인 편파는 직각 편파 혹은 수직 편파(perpendicular polarization)가 된다. 전기장이 입사 평면에 평행하게 있는 경우는 평행 편파(parallel polarization)라 부른다. 혹은 독일어 전통에 따라 직각 편파는 S편광(偏光), 평행 편파는 P편광으로 작명하기도 한다.[독일어로 senkrecht(젠크레히트)는 수직의, parallel(파라렐)은 평행의를 의미한다.] 복잡해서 다시 정리하면, TE파는 직각 편파 혹은 S편광, TM파는 평행 편파 혹은 P편광과 등가이다. TE파와 TM파의 특별한 경우로 TEM(氣, 횡전자기 혹은 가로 전자기, Transverse ElectroMagnetic)파도 있다. [그림 3]에서 $\theta_i$ = $0^\circ$이 되면, 경계면에 평행으로 전기장과 자기장이 동시에 존재하고 수직 방향으로는 전자기장이 없는 매우 간단한 TEM파가 된다. 또한 $\theta_i$ = $0^\circ$인 TE파와 TM파는 서로 다른 편파가 아니고 TEM파로 동일한 특성을 가진다. 편파를 정의할 때에 경계면이 아닌 특정한 좌표축을 기준으로 TE파와 TM파를 정의하기도 한다[6]. [그림 3]에서 기준축을 $z$로 둔 경우에 TE$^z$파는 이름 그대로 $z$축을 가로지르는 방향에만 전기장이 있어서, $z$축에는 전기장이 없고 이에 수직인 평면에만 전기장이 있다.[$E_z$ = $0$, $H_z$ $\ne$ $0$] 당연하게 TM$^z$파는 자기장이 $z$축에 없다.[$E_z$ $\ne$ $0$, $H_z$ = $0$] 그러면 헷갈리게도 TE$^z$파는 TM파, 평행 편파, P편광이며, TM$^z$파는 TE파, 직각 편파, S편광과 동일하다. 음파 개념을 PEC 기준으로 전자파에 적용해서[6], TE$^z$파 혹은 TM파를 경성 편파(硬性偏波, hard polarization), TM$^z$파 혹은 TE파는 연성 편파(性偏波, soft polarization)라고 어렵게 부르기도 한다. 연성과 경성을 나누는 기준은 경계면에서 파동의 경계 조건이다. 연성 편파는 전기장이 경계면에 평행해서 접선 경계 조건을 쓰고, 경성 편파는 자기장이 경계면에 평행하므로 법선 경계 조건을 적용한다. 이런 특성이 음파가 경계에서 흡수되거나 튕기는 성질과 비슷해서, 경계 조건을 강조할 때는 연성과 경성이란 개념을 가끔씩 쓴다. 예를 들어, 연성 표면(soft surface)에서 음파의 합산 속도가 0인 모습은 접선 전기장[바로 TM$^z$파 혹은 TE파]이 PEC에서 0인 특성과 비슷하다. 또한 경성 표면(hard surface)에서 음파의 합산 속도가 최대인 속성은 접선 자기장[바로 TE$^z$파 혹은 TM파]이 PEC에서 최대인 사례에 부합한다.
매질 상수인 $\mu, \epsilon$은 일반적으로 복소수이기 때문에, 광학에서 쓰는 굴절률(屈折率, refractive index) $n$ = $\sqrt{\epsilon / \epsilon_0}$은 복소수로 확장되어서 프레넬 방정식에 적용되어야 한다.

                  (7)

여기서 $\epsilon_c$는 전도성 매질의 유전율, $\sigma$는 매질의 전기 전도도(electric conductivity)이다. 식 (7)처럼 복소수인 굴절률 $n_c$는 복소 굴절률(complex refractive index)이라 한다. 대기 중의 전자파 전파를 다룰 때는 굴절률 $n$을 변형한 굴절도(屈折度, refractivity) $N$을 주로 사용한다. 공기로 인해 대기 굴절률은 진공 중의 굴절률인 1보다 약간 큰 1.0003 정도이다. 이 값은 1과 너무 비슷해서 값을 더 크게 표현할 필요가 있다. 그래서 진공 중의 굴절률보다 현재 매질의 굴절률이 얼마나 큰지를 상대적으로 표현하기 위해 굴절도 $N$을 다음처럼 도입한다.

                  (8)

식 (8)을 써서 대기의 특성은 굴절률 $n$ = $1.0003$ 대신 $N$ = $300$으로 더 보기 좋게 나타낼 수 있다. 굴절도 $N$은 특히 대기 굴절률의 시간 및 공간적 변화를 정밀하게 묘사한다. 장거리 전송에는 지구 반지름 $R_e$까지 고려한 변형 굴절도(modified refractivity) $M$이 주로 쓰인다.

                  (9)

여기서 $h$는 지표면부터 잰 높이이다. 원래 둥근 지구를 평평한 지구(flat earth)로 가정하기 때문에 등장하는 등가적인 굴절률 증가분이 바로 $h/R_e$이다.


   1. TE파, TM$^z$파, 직각 편파, S편광, 연성 편파   

균일 평면파인 입사 전자기장 $\bar E_z^i(x, y)$와 $\bar H_{x, y}^i(x, y)$를 [그림 3]의 경계면에 평행 혹은 입사 평면에 수직이 되도록 정의한다.

                  (1.1)

여기서 $\bar k_i$ = $k_{ix} \hat x - k_{iy} \hat y$, $\bar \rho$ = $x \hat x + y \hat y$, $k_{ix}$ = $k_1 \sin \theta_i$, $k_{iy}$ = $\sqrt{k_1^2 - k_{ix}^2}$ = $k_1 \cos \theta_i$, $k_1$ = $\omega \sqrt{\mu_1 \epsilon_1}$이다. 비슷한 방식으로 반사 및 투과 전자기장도 공식화한다.

                  (1.2)

                  (1.3)

여기서 $\bar k_r$ = $k_{rx} \hat x + k_{ry} \hat y$, $k_{rx}$ = $k_1 \sin \theta_r$, $k_{ry}$ = $\sqrt{k_1^2 - k_{rx}^2}$ = $k_1 \cos \theta_r$, $\bar k_t$ = $k_{tx} \hat x - k_{ty} \hat y$, $k_{tx}$ = $k_2 \sin \theta_t$, $k_{ty}$ = $\sqrt{k_2^2 - k_{tx}^2}$ = $k_2 \cos \theta_t$, $k_2$ = $\omega \sqrt{\mu_2 \epsilon_2}$, $r_s$와 $t_s$는 각각 반사 계수(reflection coefficient)투과 계수(transmission coefficient)이다. 반사 및 투과 계수는 각각 경계면에서 반사 및 경계면으로 투과되는 전기장의 비율이다. 전자기장의 경계 조건(boundary conditions)를 적용해서 경계면인 $y$ = $0$에서 전기장과 자기장의 접선 성분(tangential components)을 연속으로 만든다.

                  (1.4)

                  (1.5)

여기서 매질의 특성인 고유 임피던스(intrinsic impedance)는 각각 $\eta_1$ = $\sqrt{\mu_1 / \epsilon_1}$, $\eta_2$ = $\sqrt{\mu_2 / \epsilon_2}$이다. 식 (1.4)와 (1.5)는 $x$에 관계없이 모든 점에서 성립해야 한다. 그래서 직관적으로 $k_{ix}$ = $k_{rx}$ = $k_{tx}$인 위상 정합 조건(phase-matching condition)을 도입한다. 위상 정합 조건은 빛의 반사와 굴절 법칙을 그대로 유도한다.

                  (1.6)

식 (1.6)을 식 (1.4)와 (1.5)에 대입해서 $r_s, t_s$에 대해 다시 정리한다.

                  (1.7)

                  (1.8)

여기서 접선 파동 임피던스(tangential wave impedance)는 각각 $Z_1$ = $\omega \mu_1 / k_{iy}$ = $\eta_1 \mathbin{/} \cos \theta_i$, $Z_2$ = $\omega \mu_2 / k_{ty}$ = $\eta_2 \mathbin{/} \cos \theta_t$이다. 입사각이 $\theta_i$ = $0^\circ$로 바뀌어 TE파가 TEM파로 되면, 접선 파동 임피던스는 매질의 고유 임피던스인 $Z_1$ = $\eta_1$, $Z_2$ = $\eta_2$로 간단해진다. 식 (1.6)에서 가정한 위상 정합 조건은 논란의 여지가 약간 있다. 빛의 반사와 굴절 법칙을 아는 상태에서 답을 꿰맞춘 방식이라 정상적이고 공정한 유도 과정일까? 답을 예상해 문제를 푼 후 답을 다시 확인하는 기법은 전자파 분야에서 용납되는 엄밀한 방법론이다. 왜냐하면 유일성 정리(uniqueness theorem)가 있기 때문에, 어떤 방식으로 답을 향해가든지 답은 딱 하나라서 답을 가정해 답을 맞추는 방식도 너그럽게 인정된다.
[그림 3]에서 진공중을 전파하는 전자파가 유전체에 입사할 때, 매질1은 $\mu_1$ = $\mu_0$와 $\epsilon_1$ = $\epsilon_0$이고, 매질2는 $\mu_2$ = $\mu_0$와 $\epsilon_2$ = $\epsilon_r \epsilon_0$ = $n^2 \epsilon_0$이라고 가정한다. 이 경우 반사 계수 $r_s$는 다음과 같다.

                  (1.9)

여기서 $\epsilon_r$은 유전 상수(dielectric constant), $n$은 굴절률(refractive index)이다. 식 (1.9)에 의해 유전체로 입사하는 TE파는 입사각 $\theta_i$에 관계없이 항상 반사가 생긴다. 반대로 유전체인 매질2에서 진공인 매질1로[혹은 빽빽한 매질에서 성긴 매질로] 진행하는 전자파는 식 (1.6)에 유도한 스넬의 법칙(Snell's law)에 문제가 생겨서[혹은 투과각 $\theta_t$가 복소수로 바뀌어서] 특정 입사각 $\theta_i$ 이상에서는 필연적으로 전체 내부 반사 혹은 전반사(全反射, total internal reflection)를 만든다. 굴절률이 큰 매질[= $n_1$]에서 작은 매질[= $n_2$]로 전자파가 이동할 때[$n_1 > n_2$], 전체 내부 반사가 생기기 시작하는 입사각은 임계각(critical angle) $\theta_c$라 한다.

                  (1.10)

여기서 $n_1 > n_2$이다. 예를 들어, [그림 5]와 같이 유리에서 공기로 갈 때 전체 내부 반사가 일어나는 임계각은 $\theta_c$ = $\sin^{-1} (1/1.5)$ $\approx$ $41.81^\circ$이다. 즉, $41.81^\circ$보다 $\theta_i$가 커지면, 전자파는 절대 유리를 빠져나올 수 없다.
반사 및 투과 계수를 전력 혹은 전력 밀도 관점으로 표현한 양은 각각 반사율(reflectance) $R_s$ 및 투과율(transmittance) $T_s$이다. 예를 들어, [그림 4]는 유리에 의해 반사 및 투과되는 전력을 반사율과 투과율로 보여준다. TE파의 반사율 $R_s$는 식 (1.8)의 첫째식을 제곱해서 구한다.

                  (1.11)

투과율 정의에는 고민이 조금 필요하다. 매질1과 매질2의 접선 파동 임피던스가 다르므로, 각 매질에 생기는 전력을 구할 때는 서로 다른 접선 파동 임피던스를 써야 한다. 

                  (1.12)

여기서 무손실을 위해 $Z_1, Z_2$는 실수로 생각한다. 식 (1.11)과 (1.12)에 있는 반사율과 투과율을 더해서 전력 보존도 확인한다.

                  (1.13)

매질이 무손실이니까 당연하게도 식 (1.13)처럼 프레넬 방정식은 전력 보존 법칙(conservation of power)을 만족한다.
자성이 없는[$\mu_1$ = $\mu_2$ = $\mu_0$] 유전체에 대한 TE파의 반사 계수는 매우 간단해질 수 있다. 매질1에서 전자파가 입력된다고 가정한다.

                  (1.14)

사인 함수로 정리되어 매우 간략화된 식 (1.14)는 프레넬의 사인 법칙(Fresnel's sine law)이라 부른다. 프레넬의 사인 법칙은 TE파에만 성립한다. 다른 관점으로 투과각 $\theta_t$를 쓰지 않고 입사각 $\theta_i$와 유전 상수 $\epsilon_r$만 써서 식 (1.9)를 다시 쓸 수도 있다.

                  (1.15)

여기서 스넬의 법칙에 따라 $\sin^2 \theta_i$ = $\epsilon_r \sin^2 \theta_t$, $\epsilon_r$은 복소 유전 상수(complex dielectric constant)일 수 있다. 식 (1.15)를 사용하면 입사 영역의 정보만 가지고도 반사 계수 $r_s$를 매우 쉽게 계산할 수 있다.
매질 상수 $\mu, \epsilon$이 복소수인 경우는 식 (1.6), (1.9), (1.15)로 계산하기가 곤란하다. 이때는 접선 파동 임피던스 $Z$를 입사각과 투과각으로 정의하지 않고, 근본으로 돌아가 식 (1.5)에 나온 $Z$ = $\omega \mu / k_y$를 선택한다[7]. 예를 들어, 영역 (II)를 구성하는 $\mu_2, \epsilon_2$가 복소수가 되면, $k_{rx}$ = $k_{tx}$ = $k_{ix}$ 및 $k_{ty}$ = $\sqrt{k_2^2 - k_{tx}^2}$를 써서 $Z_2$를 만든다.

                  (1.16)

일반적으로 복소수인 $Z_2$를 식 (1.8)에 대입해서 TE파의 프레넬 방정식을 만든다.


   2. TM파, TE$^z$파, 평행 편파, P편광, 경성 편파   

식 (1.1)–(1.3)에 제시한 TE파와 유사한 방식으로 입사, 반사, 투과 전자기장을 각각 표현한다.

                  (2.1)

                  (2.2)

                  (2.3)

두 영역의 경계면인 $y$ = $0$에서 접선 자기장 $H_z(x, 0)$와 접선 전기장 $E_x(x, 0)$의 연속 조건과 위상 정합 조건을 적용한다.

                  (2.4)

                  (2.5)

여기서 접선 파동 어드미턴스(tangential wave admittance)는 각각 $Y_1$ = $\omega \epsilon_1 / k_{iy}$ = $1 \mathbin{/} (\eta_1 \cos \theta_i)$, $Y_2$ = $\omega \epsilon_2 / k_{ty}$ = $1 \mathbin{/} (\eta_2 \cos \theta_t)$이다. 맥스웰 방정식의 쌍대성(duality of Maxwell's equations)을 알면, 식 (1.8)로부터 식 (2.5)를 다음처럼 쉽게 만들 수 있다.

                  (2.6)

여기서 $E \to H$, $\mu \leftrightarrow \epsilon$, $\eta \leftrightarrow 1/\eta$로 바꾼다. 진공에서 유전체로 전파되는 전자파의 반사 계수 $r_p$는 식 (1.9)와 비슷하게 얻어진다.

                  (2.7)

TE파와 다르게 TM파는 반사 계수가 $0$인 입사각인 브루스터 각(Brewster's angle) $\theta_B$가 존재한다. 브루스터 각은 프레넬 방정식이 나오기 6년전인 1815년브루스터 34세, 조선 순조 시절에 브루스터David Brewster(1781–1868)가 실험적으로 발견했다[3]. 식 (2.7)을 이용하면 브루스터 각은 $\sin \theta_B$ = $\sqrt{\epsilon_r \mathbin{/}(\epsilon_r +1)}$, $\cos \theta_B$ = $ 1 \mathbin{/} \sqrt{\epsilon_r +1}$이다. 유전 상수로 기술한 브루스터 각 $\theta_B$를 각 매질의 굴절률로 다시 쓰면 다음과 같다.

                  (2.7)

여기서 $n_1$과 $n_2$는 각각 매질1과 매질2의 굴절률, 전자파는 매질1에서 입력된다. 예를 들어, 유리를 향해 쏜 TM파의 브루스터 각은 $\theta_B$ = $\tan^{-1} 1.5$ $\approx$ $56.31^\circ$이다. TM파에서 전체 내부 반사가 일어나는 조건은 TE파와 동일하게 식 (1.10)으로 구한다. 또한 TM파의 반사율 $R_p$와 투과율 $T_p$는 다음처럼 공식화한다.

                  (2.8)

                  (2.9)

                  (2.10)

[그림 2.1] 브루스터 각의 물리적 이해(출처: wikipedia.org)

TE파에는 없는 개념인 브루스터 각이 TM파에만 생기는 이유는 무엇인가? 브루스터 각은 유전체를 구성하는 전기 쌍극자 모멘트(electric dipole moment)를 보여준다. 유전체로 투과된 전기장[그림 2.1에서 화살표 ↔]은 유전체 내부에 수없이 존재하는 전기 쌍극자 모멘트를 진동시켜서 강제로 분극(polarization)을 만든다. 전기장이 만든 분극은 사실 매우 작은 헤르츠 다이폴(Hertzian dipole)로 작용한다. 전기장이 흘리는 분극 전류(polarization current)에 의해 헤르츠 다이폴은 전자파를 복사한다. 다만 전기장이 분극을 만드는 방향을 제외한 곳으로만 전자파가 복사된다. 즉, 투과한 전기장 방향으로는 전자파가 전혀 생기지 않아서 그 방향으로는 반사가 자동적으로 없다. [그림 2.1]에 보인 브루스터 각 $\theta_B$와 투과각 $\theta_t$가 가지는 직각 관계를 스넬의 법칙에 대입해서 식 (2.7)을 보다 쉽게 유도한다.

                  (2.11)

식 (2.11)로 인해 유전체 내부에 존재하지만 볼 수 없는 전기 쌍극자 모멘트의 실재와 복사 특성을 세련되게 예상할 수 있다.
식 (1.14)처럼 자성 없는 조건으로 유전체에서 생기는 TM파의 반사 계수를 간단히 표현한다.

                  (2.12)

여기서 매질1에서 전자파가 입사한다. 식 (2.12)에는 탄젠트 함수가 등장해서 프레넬의 탄젠트 법칙(Fresnel's tangent law)이라 이름 붙인다. 식 (1.15)처럼 입사각 $\theta_i$와 유전 상수 $\epsilon_r$만을 써서 $r_p$를 다시 표현한다.

                  (2.13)

여기서 $\epsilon_r$은 복소수일 수 있다.
TE파처럼 영역 (II)의 매질 상수 $\mu_2, \epsilon_2$가 복소수라면, 접선 파동 어드미턴스 $Y_2$를 원칙대로 $Y_2$ = $\omega \epsilon_2 / k_{ty}$로 두고 식 (2.5)를 계산한다[7].

                  (2.14)

여기서 $k_{ty}$ = $\sqrt{k_2^2 - k_{tx}^2}$ = $\sqrt{k_2^2 - k_{ix}^2}$이다.


   3. TE파와 TM파   

입사 전자파를 TE파와 TM파로 완전히 분리해서 고려하기는 번거로워서 TE파와 TM파의 반사 계수를 하나로 합친 다이애드 반사 계수(dyadic reflection coefficient) $\bar{\bar{r}}$도 빈번하게 사용된다. 다이애드 반사 계수는 입사 전기장의 편파에 관계없이 반사 전기장을 정확하면서 쉽게 계산할 수 있게 한다. 다이애드 반사 계수를 정의하기 위해, 기하 광학(geometrical optics, GO)에서 사용하는 광선(ray) 중심의 좌표계인 광선 고정 좌표계(ray-fixed coordinate system)부터 고려한다[4]. [그림 3.1]에 보인 광선 고정 좌표계의 두 기저 벡터(basis vector)는 $\hat e_\perp, \hat e_\parallel^i$ 혹은 $\hat e_\perp, \hat e_\parallel^r$이다.

[그림 3.1] 표면에 대한 광선 고정 좌표계의 기저 벡터, $\hat e_\perp$와 $\hat e_\parallel$

광선 고정 좌표계의 기저 벡터는 두 종류의 평면을 생성한다. 하나는 송신 광선(Tx ray) 혹은 입사 광선(incident ray) $\hat T$와 표면의 법선 벡터 $\hat n$이 이루는 입사 평면이며, 나머지 하나는 반사 광선(reflection ray) $\hat R$과 $\hat n$이 만드는 반사 평면(plane of reflection)이다. 입사파와 반사파는 같은 평면에 있으므로 입사와 반사 평면은 동일하지만, 입사와 반사 평면의 기저 벡터는 각각 $\hat e_\perp, \hat e_\parallel^i$ 및 $\hat e_\perp, \hat e_\parallel^r$로써 서로 다르다. [그림 3.1]에 나온 단위 벡터 $\hat T, \hat n$은 문제의 조건이라서 이미 정해져 있어서, 입사각은 $\cos \theta_i$ = $- \hat T \cdot \hat n$, 반사각은 $\cos \theta_r$ = $\hat R \cdot \hat n$으로부터 결정된다. 반사 광선의 단위 벡터 $\hat R$도 $\hat T, \hat n$을 이용해 공식화한다.

                  (3.1)

여기서 $\hat R \cdot \hat n$ = $- \hat T \cdot \hat n$이다. 입사 혹은 반사 평면을 정하는 법선 벡터 $\hat e_\perp$는 외적(outer product)으로 정의한다.

                  (3.2)

입사와 반사 평면이 동일하다는 성질은 식 (3.1)과 (3.2)를 조합해서 편하게 증명한다. 즉, 식 (3.1)에 $\hat n$을 외적해서 $\hat R \times \hat n$ = $\hat T \times \hat n$을 얻는다. 이 결과는 식 (3.2)에 따라 두 평면의 $\hat e_\perp$이 동등하다는 뜻이라서, 입사와 반사 평면은 서로 같다. 식 (3.2)로 얻은 $\hat e_\perp$를 이용해서 $\hat e_\parallel^i$와 $\hat e_\parallel^r$도 차례대로 유도된다.

                  (3.3)

추가적인 $\hat e_\perp, \hat e_\parallel$의 관계식도 도출한다.

                  (3.4a)

                  (3.4b)

따라서 송신과 반사 광선을 위한 광선 고정 좌표계의 기저는 각각 $(\hat e_\parallel^i, \hat e_\perp, \hat T)$와 $(\hat e_\parallel^r, \hat e_\perp, \hat R)$이다. 다만 $\hat T$와 $\hat n$이 평행하면 식 (3.2)의 분자와 분모가 모두 $0$이 되는 문제가 발생한다. 이 어려움을 피하기 위해 아래처럼 $\hat e_\parallel$을 먼저 정의하고, 그 다음에 식 (3.4a)로 $\hat e_\perp$을 만든다.

                  (3.5)

만약 $\theta_i \to 0$ 및 $\theta_r \to 0$이면, $\hat e_\parallel$은 $\hat e_\parallel^i$ = $d \hat T/d\theta_i \Big|_{\theta_i = 0}$ 및 $\hat e_\parallel^r$ = $-d \hat R/d\theta_r \Big|_{\theta_r = 0}$와 같이 잘 계산된다. 다음 단계로 광선 고정 좌표계를 바탕으로 입사 및 반사 전기장을 각각 분해한다.

                  (3.6)

그러면 반사 전기장 $\bar E^r$은 다이애드 반사 계수 $\bar{\bar{r}}_E$와 입사 전기장 $\bar E^i$의 내적으로 공식화된다.

                  (3.7)

                  (3.8)

                  (3.9)

여기서 $\hat e_\perp \hat e_\perp$와 $\hat e_\parallel^r \hat e_\parallel^i$는 두 벡터가 나열된 다이애드(dyad)이다. 자기장에 대해서도 동일하게 다이애드 반사 계수 $\bar{\bar{r}}_H$를 정의한다.

                  (3.10)

                  (3.11)

                  (3.12)

                  (3.13)

식 (3.9)와 (3.13)을 비교해보면, 생김새는 거의 비슷하며 편파를 나타내는 다이애드가 서로 교체된 부분만 약간 다르다.
TE파와 TM파가 동시에 존재할 때, [그림 3.1]의 표면에 생기는 등가 전류 밀도 $\bar J_s$와 등가 자류 밀도 $\bar M_s$를 구한다. 표면 등가의 원리(surface equivalence principle)를 써서 투과되는 전자기장은 0으로 가정한다. 이때 광선 고정 좌표계의 기저 벡터 $\hat e_\perp, \hat e_\parallel$과 $\hat n$이 만드는 외적이 필요하다.

                  (3.14)

                  (3.15)

그 다음에 등가 전류 및 자류 밀도의 정의식에 넣어서 $\bar J_s$와 $\bar M_s$을 결정한다.

                  (3.16)

                  (3.17)

표면에 수직 입사(normal incidence)하는 전자기장의 경우에는 식 (3.16)과 (3.17)이 더욱 더 간략화된다.

                  (3.18)

                  (3.19)

여기서 $\theta_i$ = $0$, $r_s$ = $-r_p$, $\hat e_\parallel^i$ = $\hat n \times \hat e_\perp$이다.


[참고문헌]
[1] T. Young, "The Bakerian lecture. Experiments and calculation relative to physical optics," Phil. Trans. Royal Soc. Lond., vol. 94, pp. 1–16, 1804.
[2] A. Fresnel, "Mémoire sur la loi des modifications que la réflexion imprime à la lumière polarisée (Memoir on the law of the modifications that reflection impresses on polarized light)," Académie des Sciences (Academy of Sciences), pp. 393–433, Jan. 1823.
[4] D. A. McNamara, C. W. I. Pistorius, J. A. G. Malherbe, Introduction to the Uniform Geometrical Theory of Diffraction, Boston, USA: Artech House, 1990.
[5] M. Oh, "Complex unit vector for the complex wave constant $\widetilde{k}$ in a lossy medium," IEEE Antennas Propag. Mag., vol. 63, no. 1, pp. 117–120, Feb. 2021.
[6] C. A. Balanis, Advanced Engineering Electromagnetics, 2nd ed., New York, USA: Wiley, 2012.
[7] J. Skaar, "Fresnel’s equations in statics and quasistatics," Eur. J. Phys., vol. 40, no. 4, Jun. 2019, art. no. 045201.
[8] N. Yu, P. Genevet,M. A. Kats, F. Aieta, J.-P. Tetienne, F. Capasso, and Z. Gaburro, "Light propagation with phase discontinuities: generalized laws of reflection and refraction," Science, vol. 334, no. 6054, pp. 333–337, Sep. 2011.

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