2021년 11월 19일 금요일

구의 방정식(Equation of a Sphere)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "구의 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[그림 1] 3차원 공간에 그린 구(출처: wikipedia.org)

2차원에서 가장 완벽한 도형이 (圓, circle)이라면, 원에 대응하는 3차원 도형은 (球, sphere)이다. 구는 중심에서 반지름이 일정한 점의 3차원 자취이다. 구의 정의에 따라 구의 방정식은 다음과 같이 기술한다.

                  (1)

여기서 구의 중심은 $(a, b, c)$, 반지름은 $r$이다. 원의 매개변수 표현식을 참고해서 구의 매개변수 표현식도 쉽게 유도할 수 있다. 먼저 3차원이 아닌 2차원으로 한정해서 $(x-a)^2 + (y-b)^2$ = $\rho^2$이라 둔다. 그러면 반지름 $r$에 대해 다음 관계가 성립해야 한다.

                  (2)

여기서 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta$ = $1$, $\rho$는 $x, y$에 대한 2차원 반지름이다. 2차원 반지름 $\rho$는 음수가 아니므로, 새로운 각도 $\theta$의 변화 범위는 $0 \le \theta \le \pi$가 되어야 한다. 식 (2)에 따라 점 $(x, y, z)$를 매개변수 $(r, \theta ,\phi)$로 표현할 수 있다.

                  (3)

새로운 매개변수 $(r, \theta ,\phi)$는 구 좌표계(spherical coordinate system)의 좌표 성분에 쓰인다. 2차원 각도 $\phi$는 평면에서의 방향[예를 들어, 동쪽 혹은 서쪽]을 가리키는 방위각(方位角, azimuth)이며, 3차원 각도 $\theta$는 극고도각(極高度角, polar angle)이라 부른다. 흔히 쓰는 고도각(高度角, elevation angle)은 적도[= $0^\circ$]에서 시작해 북극[= $90^\circ$]으로 올라가지만, 극고도각은 북극[$\theta$ = $0$]에서 출발해 적도[$\theta$ = $\pi/2$]를 거쳐 남극[$\theta$ = $\pi$]으로 간다. 그래서 고도각과 극고도각은 꼭 구별해서 써야 한다. 또한 극고도각 $\theta$의 변화 방향은 방위각 $\phi$의 변화에 직교하도록 정한다. 서로 직교하는 좌표 성분으로 구성한 편리한 좌표계를 직교 좌표계(直交座標系, orthogonal coordinate system)라고 부른다. 그래서 $(r, \theta ,\phi)$로 만든 직교 좌표계는 구의 속성을 표현하고 있어서 당연히 구 좌표계가 된다.
반지름 $r$을 고정하고 각도 $\theta, \phi$를 바꾸면서 구의 표면적 $S$를 계산한다. 각도 $\theta, \phi$에 대응하는 호의 길이(arc length)를 각각 $r d \theta, \rho d\phi$라 둔다. 그 다음에 서로 직교하는 두 호의 길이를 적분해서 구의 표면적 $S$를 유도한다.

                  (4)

구의 표면적 $S$를 반지름 $r$에 대해 양파 껍질 적분법(onion skin integration)을 적용하면, 그 적분값은 구의 부피 $V$가 된다.

                  (5)

식 (4)와 (5)에 따라 표면적과 부피는 서로 미적분 관계에 있다.

                  (6)

원과 호의 길이로 정의한 라디안(radian)의 개념을 확장해서 3차원 공간에 쓸 수 있는 입체각(立體角, solid angle) $\Omega$를 정의한다. 먼저 식 (4)에 따라 미소 표면적 $dS$를 반지름 제곱으로 나눈 값인 미소 입체각 $d\Omega$를 도입한다.

                  (7)

내적(inner product)을 이용해 임의의 미소 면적 $d \bar a$를 구의 표면으로 정사영하면, 입체각으로 임의의 3차원 각도를 측정할 수 있다. 즉, 구의 표면을 뚫고 나오는 단위 벡터(unit vector) $\hat r$과 미소 면적 $d \bar a$를 내적해서 임의의 3차원 각도를 재는 입체각 $\Omega$를 새롭게 정의한다.

                  (8)

입체각을 헤아리는 단위는 스테라디안(steradian, sr)이라 부른다. 스테라디안은 입체를 뜻하는 스테레오스(στερεός)와 빛줄기를 말하는 라디우스(radius)의 합성어이다. 식 (7)에 의해 전체 3차원 공간에 대한 입체각은 $4 \pi$ sr이다.

구의 방정식을 이용해서 여러 가지 구의 성질을 다소 쉽게 증명할 수 있다.

[그림 2] 구에 접하는 평면 혹은 접평면(원본 출처: wikipedia.org)

[구의 접평면(tangent plane to a sphere)]
구의 접평면은 항상 구에 수직이다.

[증명]
구의 방정식을 변형해서 구 표면을 $f(x, y, z)$ = $x^2+y^2+z^2 - r^2$ = $0$으로 표현한다. 여기서 구의 중심은 $(x_0, y_0, z_0)$ = $(0, 0, 0)$이다. 접평면의 방정식을 적용해서 구 표면 위의 점 $(x_1, y_1, z_1)$에서 구의 접평면을 구한다.

                  (9)

접평면의 법선 벡터 $(x_1, y_1, z_1)$은 구의 중심에서 구 표면으로 가는 위치 벡터(position vector)이기도 하므로, 구의 접평면은 구에 항상 수직이다.
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구의 방정식과 접평면을 쓰면, 원을 이용해서 증명한 점과 직선 사이의 거리 관계를 3차원으로 확장할 수 있다.

[점과 평면 사이의 거리(distance from a point to a plane)]
점 $(x_0, y_0, z_0)$에서 직선 $ax+by+cz+d = 0$ 사이의 거리 $D$는 다음과 같다.

                              (10)

여기서 점과 평면 사이의 거리는 최단 거리 혹은 수직인 거리로 정한다.

[증명]
[그림 2]처럼 점 $(x_0, y_0, z_0)$를 중심으로 하는 구를 그려서 평면 $ax+by+cz+d$ = $0$에 접하게 한다. 그러면 식 (9)에 있는 구의 접평면 방정식은 다음과 같아진다.

                              (11)

평면의 방정식을 바꾸어서 $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1)$ = $0$으로 쓰면, 평면의 법선 벡터 $\bar n$은 $(a, b, c)$가 된다. 다음 단계로 구의 중심에서 평면의 접점으로 가는 벡터 $\bar v$ = $(x_1, y_1, z_1) - (x_0, y_0, z_0)$는 $\bar n$에 평행해서 $\bar v$ = $-k \bar n$로 둔다. 여기서 $\bar n, \bar v$의 크기에 따라 스칼라 $k$의 크기는 $|k|$ = $r/\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$이다. 최종적으로 구의 반지름 $r$ 혹은 점과 평면 사이의 거리 $D$는 다음처럼 표현된다.

                              (12)
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식 (10)을 위한 증명은 초구(超球, hypersphere)에 접하는 초평면(超平面, hyperplane)까지 확장되어 다차원에 있는 점과 초평면 사이의 거리까지 유도할 수 있다.

[다음 읽을거리]

2021년 9월 26일 일요일

푸리에 사인 및 코사인 변환(Fourier Sine and Cosine Transforms)

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기함수(奇函數, odd function)와 우함수(偶函數, even function)에 대해 푸리에 급수(Fourier series)가 푸리에 사인 및 코사인 급수(Fourier sine and cosine series)로 바뀌는 성질처럼, 푸리에 변환(Fourier transform)도 기함수와 우함수 조건에 따라 적분 변환(integral transform)이 약간 달라질 수 있다. 먼저 함수 $f(t)$가 기함수라 가정한다. 그러면 $f(-t)$ = $-f(t)$인 조건에 따라 푸리에 변환은 다음처럼 변형된다.

                       (1)

                       (2)

식 (2)에서 새롭게 정의한 $S(\omega)$를 푸리에 사인 변환(Fourier sine transform)이라 부른다. 푸리에 사인 변환은 $\omega$에 대해 기함수가 된다. 푸리에 역변환(inverse Fourier transform)에 따라 푸리에 사인 역변환(inverse Fourier sine transform)도 쉽게 정의된다.

                       (3)

식 (2)와 (3)의 결과를 모아서 푸리에 사인 변환쌍(Fourier sine transform pair)을 공식화한다.

                       (4)

푸리에 사인 변환된 함수를 역변환하면 다시 원래 함수로 돌아와야 하므로, 식 (4)로부터 다음과 같은 디랙 델타 함수(Dirac delta function) 관계도 얻을 수 있다.

                       (5)

비슷한 방식으로 푸리에 코사인 변환(Fourier cosine transform)도 정의한다. 이번에는 함수 $f(t)$를 우함수라 가정하면 $f(-t)$ = $f(t)$인 관계가 성립한다. 따라서 우함수의 푸리에 변환은 다음과 같아진다.

                       (6)

여기서 $C(\omega)$는 우함수 $f(t)$의 푸리에 변환의 일종인 푸리에 코사인 변환이 된다. 푸리에 코사인 변환은 우함수 성질을 가져서 식 (3)처럼 푸리에 코사인 역변환(inverse Fourier cosine transform)도 쉽게 구해진다.

                       (7)

식 (6)과 (7)을 합쳐서 푸리에 코사인 변환쌍(Fourier cosine transform pair)과 이에 관련된 디랙 델타 함수도 기술한다.

                       (8)

                       (9)

따라서 주어진 함수가 기함수 혹은 우함수인 경우는 푸리에 사인과 코사인 변환을 각각 적용해서 더욱 편리하게 주파수 특성을 분석할 수 있다.

[다음 읽을거리]

2021년 4월 11일 일요일

프레드홀름 적분 방정식(Fredholm Integral Equation)

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프레드홀름 적분 방정식(Fredholm integral equation)을 대표하는 제2종 프레드홀름 방정식(Fredholm equation of the second kind)은 다음과 같다.

                      (1)

여기서 $k(x, x')$는 적분 핵심(integral kernel), $f(x)$는 해 함수(solution function), $d(x)$는 자료 함수(data function), $\gamma$는 상수인 매개변수, $\delta(\cdot)$는 디랙 델타 함수(Dirac delta function)이다. 프레드홀름Erik Ivar Fredholm(1866–1927)이 1899년부터 준비해서 1903년프레드홀름 37세, 대한제국 시절에 출판한 논문[1]은 프레드홀름 적분 방정식의 정확한 해법을 다루고 있다. 프레드홀름 이전에도 많은 쟁쟁한 수학자들이 적분 방정식을 풀기 위해 노력했다. 아벨Niels Henrik Abel(1802–1829)은 1823년아벨 21세, 조선 순조 시절특별한 함수 조건에서 정확한 풀이법이 존재함을 증명했다. 하지만 대부분은 식 (1)을 이산화해서 행렬(matrix)로 만든 후에 가우스 소거법(Gaussian elimination)으로 답을 구하는 방식이 주류를 이뤘다. 예를 들어, 식 (1)에서 적분 구간 $[a, b]$를 $n$개의 영역으로 분리해서 적분 방정식을 행렬처럼 만들어 해 $f(x_i)$를 구할 수 있다.

                      (2)

여기서 $i$ = $1, 2, \cdots, n$, $x_i$ = $a + i (b-a)/n$, $\delta_{ij}$는 크로네커 델타(Kronecker delta), 행렬 $\bf K$ = $[k_{ij}]$, 열 벡터 $\bf f$ = $[f(x_i)]^T$, $\bf d$ = $[d(x_i)]^T$이다.

[그림 1] 여러 가지 수학적 공간(출처: wikipedia.org)

프레드홀름은 식 (1)을 쉽게 근사해서 풀 수 있는 식 (2) 방식을 선택하지 않고 굳굳하게 정공법으로 식 (1)을 풀어갔다. 뉴턴의 표현처럼, 프레드홀름도 거인의 어깨에 서서 새로운 함수 공간 개념을 창안했다. 프레드홀름의 거인은 요절한 천재 아벨, 함수 해석학의 창안자 볼테라Vito Volterra(1860–1940), 마지막 만능인 푸앵카레Henri Poincaré(1854–1912), 현대사의 증인 아다마르Jacques Hadamard(1865–1963) 등이다. 1898년에 박사 학위를 받은 프레드홀름은 1899년에 프랑스를 방문해 푸앵카레 및 아다마르와 협업을 했다. 이 영향으로 프레드홀름은 자신만의 새로운 적분 방정식 해법을 만들 수 있었다. 프레드홀름의 기여는 식 (1)을 풀 수 있는 방법을 찾았다는데만 있지 않다. 적분 방정식 하나를 풀어서 수학 세상이 얼마나 바뀌겠는가! 프레드홀름은 적분과 같은 수학적 과정을 연산자(operator)로 바꾸고 수렴하는 무한 급수(infinite series)를 적용해서 식 (1)의 적분 방정식을 엄밀하게 풀었다. 연산자를 강조한 프레드홀름의 방법론은 적분 방정식의 해법에만 머물지 않고 수학적 구조를 고민하는 함수 해석학(functional analysis)으로 일반화될 수 있다. 이런 관점의 최고봉이 바로 힐베르트 공간(Hilbert space)이다. [그림 1]에 소개한 힐베르트 공간은 내적(inner product)이 정의된 벡터 공간(vector space)이면서 완비성(completeness)을 만족한다. 여기서 완비성에 의해 임의의 벡터를 무한히 더하더라도 그 극한은 항상 힐베르트 공간의 벡터가 된다. 힐베르트 공간의 핵심인 완비성은 프레드홀름이 만든 적분 방정식의 해법을 일반화한 결과이다.
프레드홀름이 제안한 적분 방정식의 원형은 다음과 같다.

                      (3)

여기서 $f(x, y)$는 적분 핵심, $\varphi(x)$는 해 함수, $\psi(x)$는 자료 함수이다. 식 (3)을 연산자 형태로 바꾸어본다.

                      (4)

여기서 적분 연산자 $\mathcal{K}_f$는 $\int_0^1 f(x, y) [\cdot]\, dy$, $\mathcal{I}$는 항등 연산자(identity operator)이다. 식 (4)에 제시한 적분 방정식을 풀기 위해 새로운 적분 연산자 $\mathcal{S}_g$를 양변에 적용한다.

                      (5)

여기서 $\mathcal{S}_g \psi$ = $\varphi$, 적분 연산자 $\mathcal{K}_g$는 $\int_0^1 g(x, y) [\cdot]\, dy$, 함수 $g(x, y)$는 분해 핵심(resolvent kernel)이다. 식 (5)에 나온 두 연산자 $\mathcal{K}_g, \mathcal{K}_f$의 합성 연산은 다음과 같다.

                      (6)

따라서 프레드홀름 적분 방정식을 푸는 과정은 식 (5)를 이용해 분해 핵심 $g(x, y)$ 구하기와 같다. 이열치열이라는 말도 있듯이, 적분 방정식을 해결하는 표준적 방법은 신기하게도 적분하기이다. 적분을 이용해 적분 방정식을 해결한 최초의 시도는 아벨의 적분 방정식(Abel's integral equation)이다.

[참고문헌]
[1] I. Fredholm, "Sur une classe d'équations fonctionnelles (On a class of functional equations)," Acta Math., vol. 27, pp. 365–390, 1903.
[2] G. W. Stewart, "Commentary on Fredholm, Hilbert, Schmidt: three fundamental papers on integral equations," University of Maryland, USA, 2011. (방문일 2021-03-27)
[3] J. Lindström, On the Origin and Early History of Functional Analysis, U.U.D.M. Project Report, Uppsala University, Sweden, 2008. (방문일 2021-04-11)