프레드홀름 적분 방정식(Fredholm Integral Equation)

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1. 적분 방정식의 의미

2. 행렬식

프레드홀름 적분 방정식(Fredholm integral equation)을 대표하는 제2종 프레드홀름 방정식(Fredholm equation of the second kind)은 다음과 같다.

                      (1)

여기서 $k(x, x')$는 적분 핵심(integral kernel), $f(x)$는 해 함수(solution function), $d(x)$는 자료 함수(data function), $\gamma$는 상수인 매개변수, $\delta(\cdot)$는 디랙 델타 함수(Dirac delta function)이다. 프레드홀름Erik Ivar Fredholm(1866–1927)이 1899년부터 준비해서 1903년프레드홀름 37세, 대한제국 시절에 출판한 논문[1]은 프레드홀름 적분 방정식의 정확한 해법을 다루고 있다. 프레드홀름 이전에도 많은 쟁쟁한 수학자들이 적분 방정식을 풀기 위해 노력했다. 아벨Niels Henrik Abel(1802–1829)은 1823년아벨 21세, 조선 순조 시절에 특별한 함수 조건에서 정확한 풀이법이 존재함을 증명했다. 하지만 대부분은 식 (1)을 이산화해서 행렬(matrix)로 만든 후에 가우스 소거법(Gaussian elimination)으로 답을 구하는 방식이 주류를 이뤘다. 예를 들어, 식 (1)에서 적분 구간 $[a, b]$를 $n$개의 영역으로 분리해서 적분 방정식을 행렬처럼 만들어 해 $f(x_i)$를 구할 수 있다.

                      (2)

여기서 $i$ = $1, 2, \cdots, n$, $x_i$ = $a + i (b-a)/n$, $\delta_{ij}$는 크로네커 델타(Kronecker delta), 행렬 $\bf K$ = $[k_{ij}]$, 열 벡터 $\bf f$ = $[f(x_i)]^T$, $\bf d$ = $[d(x_i)]^T$이다.

[그림 1] 여러 가지 수학적 공간(출처: wikipedia.org)

프레드홀름은 식 (1)을 근사해서 쉽게 풀 수 있는 식 (2)의 방식을 선택하지 않고 꿋꿋하게 정공법으로 식 (1)을 풀어갔다. 뉴턴의 표현처럼, 프레드홀름도 거인의 어깨에 서서 새로운 함수 공간 개념을 창안했다. 프레드홀름의 거인은 요절한 천재 아벨, 함수 해석학의 창안자 볼테라Vito Volterra(1860–1940), 마지막 만능인 푸엥카레Henri Poincaré(1854–1912), 현대사의 증인 아다마르Jacques Hadamard(1865–1963) 등이다. 1898년에 박사 학위를 받은 프레드홀름은 1899년에 프랑스를 방문해 푸엥카레 및 아다마르와 협업을 했다. 이 영향으로 프레드홀름은 자신만의 새로운 적분 방정식 해법을 만들 수 있었다. 프레드홀름의 기여는 식 (1)을 풀 수 있는 방법을 찾았다는데만 있지 않다. 적분 방정식 하나를 풀어서 수학 세상이 얼마나 바뀌겠는가! 프레드홀름은 적분과 같은 수학적 과정을 연산자(operator)로 바꾸고 수렴하는 무한 급수(infinite series)를 적용해서 식 (1)의 적분 방정식을 엄밀하게 풀었다. 연산자를 강조한 프레드홀름의 방법론은 적분 방정식의 해법에만 머물지 않고 수학적 구조를 고민하는 함수 해석학(functional analysis)으로 일반화될 수 있다. 이런 관점의 최고봉이 바로 힐베르트 공간(Hilbert space)이다. [그림 1]에 소개한 힐베르트 공간은 내적(inner product)이 정의된 벡터 공간(vector space)이면서 완비성(completeness)을 만족한다. 여기서 완비성에 의해 임의의 벡터를 무한히 더하더라도 그 극한은 항상 힐베르트 공간의 벡터가 된다. 힐베르트 공간의 핵심인 완비성은 프레드홀름이 만든 적분 방정식의 해법을 일반화한 결과이다.

프레드홀름이 제안한 적분 방정식의 원형은 다음과 같다.

                      (3)

여기서 $f(x, y)$는 적분 핵심, $\varphi(x)$는 해 함수, $\psi(x)$는 자료 함수이다. 식 (3)을 연산자 형태로 바꾸어본다.

                      (4)

여기서 적분 연산자 $\mathcal{K}_f$는 $\int_0^1 f(x, y) [\cdot]\, dy$, $\mathcal{I}$는 항등 연산자(identity operator)이다. 식 (4)에 제시한 적분 방정식을 풀기 위해 새로운 적분 연산자 $\mathcal{S}_g$를 양변에 적용한다.

                      (5)

여기서 $\mathcal{S}_g \psi$ = $\varphi$, 적분 연산자 $\mathcal{K}_g$는 $\int_0^1 g(x, y) [\cdot]\, dy$, 함수 $g(x, y)$는 분해 핵심(resolvent kernel)이다. 식 (5)에 나온 두 연산자 $\mathcal{K}_g, \mathcal{K}_f$의 합성 연산은 다음과 같다.

                      (6)

따라서 프레드홀름 적분 방정식을 푸는 과정은 식 (5)를 이용해 분해 핵심 $g(x, y)$ 구하기와 같다. 이열치열이라는 말도 있듯이, 적분 방정식을 해결하는 표준적 방법은 신기하게도 적분하기이다. 적분을 이용해 적분 방정식을 해결한 최초의 시도는 아벨의 적분 방정식(Abel's integral equation)이다.

[참고문헌]

[1] I. Fredholm, "Sur une classe d'équations fonctionnelles (On a class of functional equations)," Acta Math., vol. 27, pp. 365–390, 1903.

[2] G. W. Stewart, "Commentary on Fredholm, Hilbert, Schmidt: three fundamental papers on integral equations," University of Maryland, USA, 2011. (방문일 2021-03-27)

[3] J. Lindström, On the Origin and Early History of Functional Analysis, U.U.D.M. Project Report, Uppsala University, Sweden, 2008. (방문일 2021-04-11)

적분 방정식의 의미(Integral Equation)

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1. 미분 방정식의 의미

2. 선형 상미분 방정식

적분 방정식(積分方程式, integral equation)은 미지 함수(unknown function)를 구하기 위한 방정식이 적분(integration) 형태로 구성된다. 비슷한 개념으로 미분 방정식(微分方程式, differential equation)이 있다. 미분 방정식에서는 미분(differentiation) 연산자를 중심으로 미지 함수에 대한 방정식을 구성한다. 미분과 적분은 서로 역연산이기 때문에, 적분 방정식을 미분하면 관련된 미분 방정식이 나온다고 가볍게 생각할 수 있다. 하지만 여기서 말하는 적분은 보통 정적분(definite integral)이기 때문에, 적분 방정식을 아무리 미분해도 적분 자체를 없앨 수는 없다. 따라서 적분 방정식을 풀기 위해서는 미분 방정식과는 다른 접근법이 필요하다. 보통은 푸리에 변환(Fourier transform)과 같은 적절한 적분 변환(integral transform)을 도입해서 적분 방정식을 해결한다. 또한 적분 방정식은 주로 미분 방정식에 경계 조건을 결합해서 생성된다. 즉, 미분 방정식이 같더라도 경계면의 위치나 조건에 따라 여러 개의 적분 방정식이 만들어질 수 있다. 이는 우리가 선택한 경계면의 좌표계에 따라 다양한 적분 방정식이 만들어짐을 뜻한다.

적분 방정식이 널리 사용되는 중요한 예는 다음과 같은 그린 함수(Green's function)이다.

                  (1)

여기서 $b(\bar r)$은 아는 함수(known function) 혹은 경계 함수(boundary function), $f(\bar r')$은 미지 함수, $G(\bar r, \bar r')$은 그린 함수이다. 전형적인 적분 방정식인 식 (1)을 잘 풀면 미지 함수 $f(\bar r')$을 결정할 수 있다. 하지만 식 (1)은 $x, y, z$에 대해 아무리 미분해도 정적분이 없어지지 않는다. 왜냐하면 정적분은 $x', y', z'$에 대해 정의되기 때문이다. 따라서 식 (1)을 풀기 위해서는 미분이 아닌 적분을 적절히 사용해야 한다. 예를 들어, 3차원으로 표현된 식 (1)을 2차원으로 간략화하고 $y$ = $y_0$에서 $b(x, y)$의 모든 특성을 안다고 가정한다. 이 경우 2차원 자유 공간 그린 함수(2D free-space Green's function)를 이용해서 식 (1)을 다시 표현할 수 있다.

             (2)

여기서 $\eta$ = $\sqrt{\kappa^2 - \xi^2}$, $\Im[\eta] \ge 0$, $\kappa$는 2차원 파동의 파수(wavenumber), $f(x, y)$는 $y \ge y_0$인 영역에서만 함수값이 있고 나머지 부분에서는 $0$이다. 식 (2)의 마지막식에 푸리에 변환 $\int_{-\infty}^\infty (\cdot)e^{-i \xi' x}\,dx$를 적용한다.

                  (3)

여기서 $B(\xi)$는 $b(x, y_0)$의 푸리에 변환이다. 단위 계단 함수(unit step function) $u(\cdot)$를 도입해서, 식 (2)에서 정의한 푸리에 변환 $F(\xi)$를 한켈 변환(Hankel transform) 형태로 바꾸어 생각한다.

                  (4)

                       (5)

여기서 $g(\rho, \phi)$ = $f(x,y+y_0)u(y)$, $\rho$ = $\sqrt{x^2 + y^2}$, $\kappa$ = $\sqrt{\xi^2 + \eta^2}$, $\Phi$는 복소수까지 확장된다. 한켈 함수의 개념에 따라 식 (4)를 주기 함수 $g(\rho, \phi)$로 다시 쓴다.

                      (6)

                      (7)

여기서 $\mathfrak{H}[g(\rho)]$는 $g(\rho)$의 한켈 변환이다. 근사이기는 하지만 식 (2)에 $|\xi| \le \kappa$라는 조건을 추가하면, $\eta$는 항상 실수가 되어서 식 (7)의 $\Phi$도 실수가 된다. 이 경우 식 (7)에 $1/(2 \pi)\int_0^{2 \pi} (\cdot)e^{in' \Phi}\,d\Phi$ 적분을 적용해서 $\mathfrak{H}[g_n(\rho)]$를 $B(\xi)$ 관점으로 근사화한다.

                      (8)

여기서 $\xi$ = $\kappa \cos \Phi$이다. 마지막 단계로 한켈 역변환을 이용해서 $g_n(\rho)$를 구한 후에 적분 방정식의 해인 $f(x, y)$를 결정할 수 있다.

만약 $f(x, y)$가 2차원 표면이 아닌 1차원 직선상에서만 값이 있으면, 푸리에 변환을 사용해 적분 방정식을 더 쉽게 풀 수 있다. 예를 들어, $y$ = $y_s$에서만 $f(x, y)$가 정의되는 경우에 식 (2)는 다음과 같이 바뀐다.

                      (9)

식 (3)처럼 식 (9)에 푸리에 변환을 적용한 후에 푸리에 역변환으로 $F(\xi)$를 $f(x, y_s)$로 바꾸면 적분 방정식의 해가 바로 얻어진다.

                      (10)

                      (11)

1차원과 2차원 적분 방정식의 해인 식 (11)과 (8)은 결과식이 매우 다르다. 하지만 적절한 적분 변환을 사용해서 문제의 영역을 바꾸어 푼다는 측면에서는 본질적으로 동일한 과정을 따르고 있다.

다음에 제시한 선형 상미분 방정식(linear ordinary differential equation)을 정적분해서 새로운 적분 방정식을 정의할 수도 있다.

                      (12)

식 (12)를 $a$에서 $x$까지 정적분하면 다음과 같은 적분 방정식이 얻어진다.

                      (13)

여기서 $\gamma$는 상수인 매개변수이다. 식 (13)에서 과감하게 $k(x')$의 입력 변수를 $k(x, x')$로 바꾸어서 식 (13)을 다시 쓴다.

                      (14)

여기서 $k(x, x')$는 적분 방정식의 적분 핵심(integral kernel), $d(x)$는 아는 함수 혹은 자료 함수(data function), $f(x)$는 미지 함수 혹은 해 함수(solution function)이다. 새롭게 정의한 식 (14)는 제2종 볼테라 방정식(Volterra equation of the second kind)이라 부른다. 식 (14)를 더 간략하게 표현한 경우는 제1종 볼테라 방정식(Volterra equation of the first kind)이 된다.

                      (15)

식 (14)와 (15)를 함께 표현할 때는 간단히 볼테라 적분 방정식(Volterra integral equation)이라 할 수 있다. 제2종 볼테라 방정식을 미분해서 선형 상미분 방정식과 관계를 구하면 다음과 같다.

                      (16)

여기서 정적분의 미분 공식을 사용한다. 식 (16)에서 사라지지 않고 남아있는 적분 항만큼 식 (12)에 있는 선형 상미분 방정식과 볼테라 적분 방정식이 달라진다. 볼테라Vito Volterra(1860–1940)가 제안한 볼테라 적분 방정식과 범함수(汎函數, functional)는 1887년볼테라 27세, 조선 고종 시절 무렵 함수 해석학(functional analysis)이라는 새로운 세계를 열었다. 범함수는 정의역이 함수인 함수이며, 치역은 주로 실수(real number)가 된다. 범함수 개념을 쓰면, 식 (14)와 같은 적분 방정식을 연산자(operator) 형태로 쉽게 표현할 수 있다. 함수 해석학은 함수로 만든 수학적 공간을 해석학 관점으로 연구하는 분야이다. 함수 공간(function space)은 선형 대수학처럼 보통 기저 함수의 선형 결합(linear combination)으로 만든다. 또한 볼테라는 1881년에 미분 가능(differentiable)과 리만 적분 가능(Riemann integrable)이 서로 별개임을 보이는 볼테라 함수(Volterra function)도 고안했다.

식 (12)에 제시한 적분 방정식의 구간을 바꾸어서 다른 적분 방정식을 정의하기도 한다[1]–[4].

                      (17)

식 (17)은 제1종 프레드홀름 방정식(Fredholm equation of the first kind)이라 부른다. 만약 $k(x, x')$이 병진 불변 핵심(translation-invariant kernel)[병진 연산만으로는 함수값이 바뀌지 않는 핵심]이면, 식 (17)의 해 $f(x)$는 길쌈(convolution)에 대한 푸리에 변환으로 구한다.

                      (18)

여기서 $D(\xi), K(\xi), F(\xi)$는 각각 $d(x), k(x)$, $f(x)[u(x-a) - u(x-b)]$의 푸리에 변환이다. 적분 핵심이 병진 불변인 경우, $k(x, x')$을 그린 함수 $G(x, x')$이라 간주할 수 있다. 제2종 프레드홀름 방정식(Fredholm equation of the second kind)은 식 (14)의 적분 구간을 약간 바꾸어 다시 정의한다.

                      (19)

여기서 $\gamma$는 상수인 매개변수, $\delta(\cdot)$는 디랙 델타 함수(Dirac delta function)이다. 식 (19)의 둘째식에 나온 피적분 함수 $\delta(x-x')-\gamma k(x, x')$를 새로운 적분 핵심으로 간주하면, 식 (19)의 둘째식은 식 (17)과 같은 제1종 프레드홀름 적분 방정식이 된다. 즉, 제1종 프레드홀름 적분 방정식은 제2종 프레드홀름 적분 방정식의 특별한 경우이다. 식 (18)과 비슷하게 $k(x, x')$이 병진 불변이면, $f(x)$는 다음과 같이 공식화된다.

                      (20)

프레드홀름 적분 방정식(Fredholm integral equation)은 식 (17)과 (19)를 모두 포함한 이름이다.

[참고문헌]

[1] I. Fredholm, "Sur une classe d'équations fonctionnelles (On a class of functional equations)," Acta Math., vol. 27, pp. 365–390, 1903.

[2] F. Smithies, "The Fredholm theory of integral equations," Duke Math. J., vol. 8, no. 1, pp. 107–130, Mar. 1941.

[3] G. W. Stewart, "Commentary on Fredholm, Hilbert, Schmidt: three fundamental papers on integral equations," University of Maryland, USA, 2011. (방문일 2021-03-27)

[4] J. Wong, Fredholm Integral Equations, Math 551 Lecture Notes, Duke University, USA, 2019. (방문일 2021-03-30)

[다음 읽을거리]

1. 아벨의 적분 방정식

2. 미분 방정식의 만병통치약: 그린 함수

3. 프레드홀름 적분 방정식

콘토로비치–레베데프 변환(Kontorovich–Lebedev Transform)

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1. 복소 함수론의 쉬운 이해

2. 디랙 델타 함수

3. 미분 방정식의 만병통치약: 그린 함수

4. 베셀 함수

5. 원통 좌표계의 전자장 표현식

[그림 1] 나무를 쪼개기 위해 사용되는 쐐기(출처: wikipedia.org)

콘토로비치–레베데프 변환(Kontorovich–Lebedev Transform)은 원통 좌표계(circular cylindrical coordinate system)로 정의된 쐐기(wedge) 형태의 경계 조건을 위한 적분 변환(integral transform)이다[1]–[7]. 비슷한 적분 변환인 한켈 변환(Hankel transform)도 원통 좌표계를 위해 쓰이지만, 한켈 변환은 방위각(azimuth) $\phi$방향으로 완전한 주기[$0 \le \phi < 2 \pi$]를 형성한다. 하지만 콘토로비치–레베데프 변환은 $\phi$방향의 일부 영역만 사용하므로[예를 들어, 쐐기 각도가 $\phi_0$인 경우는 방위각의 정의역이 $0 \le \phi \le \phi_0$일 수 있다.], [그림 1]에 보여준 쐐기와 같은 경계 조건을 가진 문제를 풀 때 적합하다. 역사적으로도 콘토로비치–레베데프 변환은 수학적 고민이 아닌 회절 문제를 풀기 위해 1938년일제 식민지 시절에 제안되었다. 그래서 콘토로비치–레베데프 변환은 적절한 적분 공식을 이용해서 증명하지 않고, 풍부한 물리적 개념을 보여주는 그린 함수(Green's function)가 증명의 뼈대를 이룬다[2]–[5].

[콘토로비치–레베데프 변환(Kontorovich–Lebedev Transform)] [3], [4]

                  (1a)

                  (1b)

                  (2a)

                  (2b)

여기서 $\xi$ = $i \mu$이다.

[증명]

통상적인 경우와 다르게 콘토로비치–레베데프 변환의 증명은 그린 함수로부터 시작한다. 적분 변환과 역변환이 일대일로 대응되는 성질은 디랙 델타 함수(Dirac delta function)와 직접 연결된다. 그래서 정의역이 유한한 경우는 그린 함수와 디랙 델타 함수의 관계를 설명하는 다음 복소 적분을 사용한다.

                     (3)

여기서 $\lambda$는 미분 방정식의 고유치(eigenvalue), $\psi_m(x)$는 제$m$번 고유 함수(eigenfunction), $r(x)$는 스튀름–리우빌 이론(Sturm–Liouville theory)에 나온다. 식 (3)을 이용하기 위해서는 원통 좌표계의 그린 함수를 먼저 구해야 한다. 최소수 $x_<$와 최대수 $x_>$를 이용한 그린 함수의 정의를 사용한다.

                     (4)

여기서 $x_<$ = $\min(x, x')$, $x_>$ = $\max(x, x')$, $g_l(x; \lambda)$와 $g_u(x; \lambda)$는 각각 $x \le x'$와 $x \ge x'$ 구간에서 그린 함수의 특성을 표현, $W(u, v)$는 함수 행렬식(Wronskian), $p(x)$는 스튀름–리우빌 이론(Sturm–Liouville theory)에 등장한다. 원통 좌표계를 위한 스튀름–리우빌 미분 방정식(Sturm–Liouville differential equation)은 다음과 같은 베셀의 미분 방정식(Bessel's differential equation)이다.

                       (5)

여기서 $\lambda$ = $-n^2$, $p(x)$ = $x$, $r(x)$ = $1/x$이다. 따라서 파동의 복사 조건(radiation condition)과 식 (4)를 고려해서 원통 좌표계를 위한 그린 함수 $g(x, x'; \lambda)$를 공식화한다.

                       (6)

여기서 $\lambda$ = $-\nu^2$, $\nu$ = $i \sqrt{\lambda}$, $\nu$는 임의의 실수, 베셀 함수의 함수 행렬식에 의해 $W[J_\nu(x), H_\nu^{(1)}(x)]$ = $2i/(\pi x)$이다. 식 (3)과 유사하게 식 (6)에 유도한 $g(x, x'; \lambda)$를 복소 적분한다. 다만 베셀 함수의 차수 $\nu$는 감마 함수(gamma function)의 입력 변수이므로, 감마 함수를 정의하는 한켈 경로(Hankel contour) $\mathcal{H}$에 생기는 가지 자름(branch cut)을 돌아가면서 [그림 2]처럼 복소 적분을 해야 한다.

[그림 2] 그린 함수와 디랙 델타 함수의 관계를 위한 적분 경로

또한 고유치를 베셀 함수의 차수로 선택한 원통 좌표계의 반지름은 무한대까지 커질 수 있기 때문에, 그린 함수의 정의역은 유한하지 않고 무한해진다. 이로 인해 식 (3) 대신 다음과 같은 복소 적분을 도입한다.

                     (7)

식 (7)을 한켈 경로 $\mathcal{H}$에 대한 복소 적분으로 바꾸기 위해 [그림 2]에 제시한 경로에 코쉬의 적분 정리(Cauchy's integral theorem)를 적용한다.

                       (8)

그러면 가지 자름을 우회하면서 $-\mathcal{H}$를 따라 $g(x, x'; \lambda)$를 경로 적분한 결과는 디랙 델타 함수로 정확히 연결된다.

                       (9)

식 (9)에 식 (6)을 대입해서 디랙 델타 함수를 위한 적분을 공식화한다.

                       (10)

[그림 2]에 있는 한켈 경로를 양의 실수축에 최대한 근접시켜서 식 (10)을 간단한 형태로 정리한다.

                       (11)

여기서 $\phi$ = ${\rm arg}(\lambda)$, $-2\pi < \phi < 0$, $-\pi/2 < {\rm arg}(i\sqrt{\lambda}) < \pi/2$이다. 고유치 $\lambda$의 편각을 $-2\pi < \phi < 0$로 선택한 이유는 제1종 베셀 함수 차수 $i\sqrt{\lambda}$의 실수부를 양수로 만들기 위해서이다.[$\because$ 음수인 차수의 크기가 커지면, 제1종 베셀 함수는 발산한다.] 식 (11)에서 변수 치환을 $\mu$ = $\sqrt{\lambda}$로 정의해서 식 (10)과 결합한다.

                       (12a)

                       (12b)

식 (12b)의 적분 구간을 다시 바꾸면, 결과식이 더 간단해진다.

                       (13)

여기서 $H_{-i \mu}^{(1)}(\cdot)$ = $e^{-\mu \pi}H_{i \mu}^{(1)}(\cdot)$이다. 다음 단계로 제1종 한켈 함수를 제1종 베셀 함수와 제2종 한켈 함수로 바꾸어쓴다.

                       (14)

여기서 $H_{-i \mu}^{(1)}(x') H_{-i \mu}^{(2)}(x)$ = $H_{i \mu}^{(1)}(x') H_{i \mu}^{(2)}(x)$이기 때문에 $H_{i \mu}^{(1)}(x') H_{i \mu}^{(2)}(x) \mu$는 기함수(odd function)이다. 따라서 디랙 델타 함수를 생성하는 또 하나의 적분이 정의된다.

                       (15)

디랙 델타 함수의 정의를 이용해서 $f(x)$를 다시 표현하면 식 (1)이 증명된다.

                       (16)

식 (1)의 변수를 $\xi$ = $i \mu$로 치환해서 식 (2)도 유도한다.

______________________________

[그림 3] 경계 조건이 쐐기인 원통 좌표계

콘토로비치–레베데프 변환을 이용하면, [그림 3]처럼 경계 조건이 쐐기 형태인 원통 좌표계를 위한 파동 함수 $f(\rho, \phi)$를 편리하게 정의할 수 있다.

                       (17)

                       (18)

식 (18)을 식 (17)에 대입해서 간략히 정리한다.

                       (19)

다시 식 (19)를 식 (17)에 대입해서 $F(\phi; \mu)$에 대한 미분 방정식을 얻는다.

                       (20)

따라서 [그림 3]에 나온 경계 조건을 풀기 위한 파동 표현식은 다음과 같다.

                       (21)

여기서 $F_{\pm}(\mu)$는 경계 조건 $\phi$ = $0$과 $\phi_0$에 콘토로비치–레베데프 변환을 적용해서 결정한다. 식 (20)에 의해 파동 표현식 $f(\rho, \phi)$는 방위각 $\phi$에 대해 주기성이 없다. 그래서 [그림 3]과 같은 쐐기 경계 조건이 없는 구조에는 콘토로비치–레베데프 변환을 사용할 수 없다. 

[참고문헌]

[1] M. I. Kontorovich and  N. N. Lebedev, "A method for the solution of problems in diffraction theory and related topics," Zh. Eksper. Teor. Fiz. (Journal of Experimental and Theoretical Physics), vol. 8, no. 10–11, pp. 1192–1206, 1938. (In Russian)

[2] L. B. Felsen and N. Marcuvitz, Radiation and Scattering of Waves, Oxford University Press, 1994.

[3] D. G. Dudley, Mathematical Foundations for Electromagnetic Theory, IEEE Press, 1994.

[4] 김진주, 슬롯이 있는 도체 쐐기에서의 전자파 산란 (Electromagnetic Scattering from Slotted Conducting Wedge), KAIST 박사 학위 논문, 2010. (방문일 2021-03-20)

[5] D. S. Jones, "The Kontorovich–Lebedev transform," J. Inst. Math. Appl., vol. 26, no. 2, pp. 133–141, Sep. 1980.

[6] M. A. Salem, A. H. Kamel, and A. V. Osipov, "Electromagnetic fields in the presence of an infinite dielectric wedge," Proc. R. Soc. A, vol. 462, no. 2072, pp. 2503–2522, Mar. 2006.

[7] M. A. Nethercote, R. C. Assier, I. D. Abrahams, "Analytical methods for perfect wedge diffraction: a review," Wave Motion, vol. 93, 2020.