[경고] 아래 글을 읽지 않고 "연분수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
거듭제곱(power)은 같은 수를 여러 번 곱하는 곱셈의 일반화 연산이다. 거듭제곱에 반대되는 연산으로써 어떤 수를 정수(整數, integer)와 소수(小數, decimal fraction)로 분리한 후 소수 부분을 분수로 한없이 거듭해서 표현하는 수는 연분수(連分數, continued fraction)라 부른다. 즉, 연분수는 소수처럼 실수를 표기하기 위한 반복적인 나눗셈이다. 예를 들면, 무리수(無理數, irrational number)인 오일러의 수(Euler's number) $e$를 다음과 같은 연분수로 나타낼 수 있다.
(1)
(2)여기서 $a_0$은 정수부(integer part), $0$ 혹은 자연수인 $a_n$[$n \ge 1$]은 부분 분모(partial denominator), $\rm K$는 독일어 연분수(Kettenbruch, 케텐브루흐)의 첫자이며 가우스Carl Friedrich Gauss(1777–1855)에서 유래한다. 식 (2)처럼 $a_n$이 사라지지 않고 계속 이어지는 연분수는 무한 연분수(infinite continued fraction)라 한다.
실수(實數, real number)를 쉽게 표현할 수 있는 소수 개념이 있는데도 수학자들은 왜 다소 복잡한 연분수를 고안했을까? 이 질문의 해답은 무리수 판정에 있다. 유리수중에는 소수가 계속 이어지는 무한 소수도 있기 때문에, 소수의 무한성만 가지고는 유리수와 무리수를 구별할 수 없다. 그래서 무한 소수를 정수의 비율로 표현할 수 있는지 혹은 없는지로 유리수와 무리수를 판정한다. 이 과정은 쉬워보이지만, 실제로 해보면 증명 과정이 만만하지 않다. 하지만 연분수는 이런 복잡한 과정을 거칠 필요가 없다. 식 (2)에서 $0$이 아닌 $a_n$이 계속 나온다면, 이 연분수는 항상 무리수가 된다. 반대로 $a_n$이 이어지다가 $0$이 되면, 이 실수는 유리수이다.
[무한 연분수와 무리수]
수렴하는 무한 연분수는 항상 무리수이고 연분수의 계수는 유일하게 결정된다.
[증명]
무한 연분수가 유리수에 수렴한다면, 무한 연분수를 다음과 같이 표기할 수 있다.
(3)
(4)여기서 유일한 $q_1, r_1$에 대해 $m_0$ = $q_1 r_0 + r_1$, $a_1$ = $q_1$, $r_1 < r_0$이다. 식 (4)에도 나눗셈의 유일성을 다시 적용한다.
(5)여기서 $r_0$ = $q_2 r_1 + r_2$, $a_2$ = $q_2$, $r_2 < r_1$이다. 식 (4), (5)처럼 연분수를 계속 만들어가면, $m_0 > r_0 > r_1 > \cdots > r_n$이 반드시 성립해야 한다. 하지만 $r_n$이 줄어들 수 있는 한계는 $0$이므로, 결국에는 $a_{n+1}$ = $0$이 나온다. 따라서 무한 연분수는 단순한 정수비로 표현될 수 없어서 무리수가 되어야 한다.
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밀접히 연결되는 연분수와 무리수의 관계를 이용해서, 어떤 양의 실수에 대한 제곱근이 무리수인지 아닌지를 쉽게 결정할 수 있다. 곱셈 공식에 따라 임의의 양의 실수 $x$를 다음과 같은 연립 관계로 공식화한다.
(6)여기서 $x > 0$, 자연수인 $m$은 $m$ = $\lfloor \sqrt{x} \rfloor$를 만족, $\lfloor x \rfloor$는 바닥 함수(floor function) 혹은 $x$를 넘지 않는 최대 정수이다. 식 (6)은 $\sqrt{x}$에 대한 순환 관계이므로 $x$의 제곱근을 연분수로 표현할 수 있다.
(7)식 (7)은 아름다운 연분수 표현식이면서도 어떤 수의 제곱근을 유리수로 근사하기 위한 효율적인 공식일 수도 있다. 예를 들어, $\sqrt{2}$는 다음과 같은 연분수와 동일하다.
(8)여기서 $x$ = $2$, $m$ = $1$이다. 또한 식 (8)의 우변은 무한 연분수이므로, $\sqrt{2}$는 반드시 무리수여야 한다. 식 (7)에서 유도한 연분수는 식 (2)를 더 확장한 다음과 같은 일반화 연분수(generalized continued fraction)의 일종이다.
(9)여기서 $0$ 혹은 자연수인 $b_n$은 부분 분자(partial numerator)이다. 식 (9)에 대비되는 식 (2)를 단순 연분수(simple continued fraction)라고도 한다. 식 (9)의 부분 분자와 분모에 동일한 상수 $c_n$을 곱해서 약간 변형된 연분수를 만들어본다.
(10)식 (10)에서 $c_{n-1} c_n b_n$ = $1$인 조건을 부여하면, 식 (9)의 일반화 연분수는 부분 분자가 모두 $1$인 단순 연분수가 된다.
(11)여기서 $c_0$ = $1$, $c_n$ = $1/(c_{n-1} b_n)$이다. 혹은 $c_n a_n$ = $1$인 조건에 의해 부분 분모가 항상 $1$인 연분수를 만들 수도 있다.
(12)여기서 $c_0$ = $1$, $c_n$ = $1/a_n$이다.
식 (9)에 정의한 일반화 연분수의 수렴을 판정하기 위해, 연속된 분수 표현을 다음처럼 단일 분수로 바꾸어서 생각한다.
(13a)
(13b)
(13c)여기서 $A_{-1}$ = $0$, $A_0$ = $1$, $B_{-1}$ = $1$, $B_0$ = $a_0$이다. 식 (13)에서 정의한 $A_n, B_n$은 각각 부분 분모와 분자에 대한 제$n$차 연속식(連續式, continuant)이며, $x_n$은 제$n$차 수렴식(收斂式, convergent)이다. 연속식 $A_n, B_n$에 대한 재귀 관계(recurrence relation)는 다음과 같다.
(14)따라서 일반화 연분수의 수렴은 연속식 $A_n, B_n$의 비율인 수렴식 $x_n$의 극한이 유한함으로 정의한다.
(15)연속식 $A_n, B_n$의 상호 관계는 다음처럼 표현된다.
(16)
(17)연분수의 수렴성을 간단하게 증명하기 위해 식 (2)에 있는 단순 연분수를 고려한다. 식 (9)와 같은 일반화 연분수는 식 (11)과 같은 과정을 거쳐 단순 연분수로 바뀔 수 있다. 단순 연분수는 $b_n$ = $1$이므로, 수렴식 $x_n$의 차이가 굉장히 간단히 표현된다.
(18)여기서 $A_n > 0$이다. 식 (18)의 우변에 의해 수렴식은 증가와 감소를 반복한다. 그래서 식 (18)을 다음처럼 짝수와 홀수 수렴식(even and odd convergents)으로 구분해서 생각한다[1].
(19)여기서 $a_n > 0$이다. 만약 $n$이 짝수라면, $x_0 < x_2 < x_4 < \cdots$가 성립한다. 혹은 $n$이 홀수인 경우는 $x_1 > x_3 > x_5 > \cdots$를 만족한다. 또한 식 (18)과 (19)에 의해, $x_{2n} < x_{2n+1} < x_{2n-1}$ 및 $x_{2n} < x_{2n+2} < x_{2n+1}$도 얻는다. 이를 모두 종합하면, 최종적으로 $n$에 대한 수렴식 $x_n$의 대소 관계가 다음처럼 표현된다: $x_0 < x_2 < x_1$, $x_0 < x_2 < x_3 < x_1$, $\cdots$,
(20)따라서 단순 연분수의 수렴 특성을 다음처럼 확립할 수 있다.
[단순 연분수의 수렴]
부분 분모가 양수인 단순 연분수는 항상 수렴한다.
[증명: 수렴 정의]
단조 증감 수렴 정리(monotone convergence theorem)에 의해 짝수와 홀수 수렴식은 모두 수렴하며, 각 수렴값을 $x_e, x_o$라고 한다. 두 수렴값의 차이는 다음과 같다.
(21)
(22)
(23)여기서 $f[n+1]$ = $A_n$, $f[0]$ = $A_{-1}$ = $0$, $f[1]$ = $A_0$ = $1$, $n$이 음수이면 $f[n]$ = $0$이다. 식 (23) 분모의 인수 분해는 다음과 같다.
(24)
(25)따라서 $A_n$의 표현식은 다음처럼 공식화된다.
(26)식 (24)에 의해 $z_0 > 1$이 항상 성립하므로, $n$이 커질 때 $A_n$은 무한대로 발산한다.
[증명: 라이프니츠 기준]
식 (18)을 이용해서 수렴식 $x_n$의 수렴값 $x$를 교대 급수(alternating series)로 기술한다.
(27)______________________________
일반화 연분수의 부분 분자와 분모가 음수가 될 때는 오일러Leonhard Euler(1707–1783)가 1744년오일러 37세, 조선 영조 시절에 증명한 오일러의 연분수 공식(Euler's continued fraction formula)이 유용하다.
[오일러의 연분수 공식]
(28)여기서 거듭된 분수에 있는 모든 분모는 $0$이 아니다.
[증명: 라이프니츠 기준]
식 (28)에 대한 부분 합(partial sum) $x_n$을 정의한다.
(29)식 (28)의 마지막식을 기반으로 유한한 $n$에 대한 연분수도 거듭된 나눗셈으로 표현한다.
(30)
(31)
(32)여기서 $c_2$는 $b_2$에서 $b_{n+1}$까지 연속된 분수이다. 따라서 $n$을 무한대로 보내면, 수학적 귀납법에 의해 식 (28)이 증명된다.
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오일러의 연분수 공식은 다양한 연분수의 성질을 증명할 때 매우 유용하다.
1. 함수 표현식(function representation)
(1.1)[증명: 라이프니츠 기준]
테일러 급수(Taylor series)를 이용해 지수 함수를 식 (28)의 첫째식처럼 표현한다.
(1.2)
(1.3)______________________________
식 (1.1)에서 $x$ = $1$을 대입하면, 오일러의 수(Euler's number) $e$는 무리수임을 편하게 증명할 수 있다.
[탄젠트 역함수(arctangent function)]
(1.4)[증명: 라이프니츠 기준]
그레고리의 급수(Gregory's series)를 조정해서 식 (28)의 첫째식처럼 만든다.
(1.5)식 (1.5)의 항을 이용해서 $\tan^{-1} x$를 연분수로 바꾼다.
(1.6)식 (10)처럼 부분 분자에 적당한 계수를 곱해서 식 (1.4)로 만든다.
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(1.7)[람베르트 W 함수(Lambert W function)]
(1.8a)
(1.8b)[증명: 라이프니츠 기준]
람베르트 W 함수의 정의인 $w e^w$ = $x$를 변형하고 $w$ = $x \mathbin{/} e^w$로 표현해 식 (1.8a)를 얻는다. 식 (1.8b)를 만들기 위해 로그 함수를 정의식에 적용해 $w$ = $\log (x/w)$를 만든다.
______________________________람베르트 W 함수는 다가 함수(multi-valued function)이므로, 이 함수가 정의되는 가지(branch)를 구별해야 한다. 식 (1.8)은 주요 가지의 함수값을 나타낸다.
[참고문헌]
[1] Math Online, "Convergence of infinite continued fractions," Math Online. (방문일 2020-12-23)
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(4a)
(4b)
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(22a)
(22b)
(22c)
(23)