조금은 느리게 살자

2013년 7월 23일 화요일

구 좌표계의 MNL 함수(MNL Functions in Spherical Coordinates)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "구 좌표계의 MNL 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 구 좌표계의 전자장 표현식
2. MNL 함수를 이용한 전자장 표현식
3. 데카르트 좌표계의 MNL 함수
4. 원통 좌표계의 MNL 함수

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데카르트 좌표계와 원통 좌표계의 MNL 함수 유도법을 이용하면 구 좌표계(spherical coordinate system)의 MNL 함수도 기계적으로 쉽게 구할 수 있다. 구 좌표계에서 정한 MNL 함수는 벡터 구면파 함수(vector spherical wave function)라고도 부른다. 다만 식 (1)에 제시한 안내 벡터(piloting vector) $\bar p$는 데카르트 좌표계 혹은 원통 좌표계[$\bar p = \hat z$]와는 다르게 정한다.

(1)

물론 $\bar p = \hat z$라고 해도 되지만 구 좌표계 $(r, \theta, \phi)$에서 $z$축 단위 벡터(unit vector)는 다음처럼 복잡하게 표현되므로 권장하지 않는다.

(2)

그러면 단순하게 안내 벡터는 $r$의 함수라 가정하여 $\bar p = f(r) \hat r$을 식 (1)에 대입해 식 (7)처럼 계산해 보자.

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

따라서, $r \ne 0$인 경우 구 좌표계를 위한 가장 단순한 안내 벡터는 위치 벡터(position vector)로 정의한다.

(8)

다음으로 할 일은 구 좌표계에 대한 스칼라 생성 함수(scalar generating function) $\psi$ 찾기이다.

(9)

구 좌표계의 파동 함수는 악(?)소리나게 복잡하지만, 구 좌표계의 전자장 표현식(electromagnetic field representations in spherical coordinates)을 이용하기 때문에 큰 문제는 없다. 장애물이 없는 3차원 공간의 구 좌표계 자기 벡터 포텐셜 $A_r$ 표현식은 다음 형태를 가진다.

(10)

(11)

식 (11)을 이용해서 구 좌표계의 스칼라 생성 함수 $\psi_{nm}$를 정하면 다음과 같다.

(12)

식 (12)에 있는 구면 베셀 함수(spherical Bessel function)는 리카티–베셀 함수(Riccati–Bessel function)와 다음 관계를 가지고 있다.

(13)

여기서 $z_n(x)$는 구면 베셀 함수(spherical Bessel function)이다. 이 다음부터는 기계적으로 MNL 함수를 구하면 된다.

(14)

여기서 다음 관계가 성립한다.

(15)

따라서 MN 함수는 다음처럼 표현된다.

(16a)

(16b)

(17)

여기서 $P_n^{m \prime}(x)$ = $d P_n^m(x) /dx$이다. 식 (12)를 식 (17)에 대입해 조금 더 정리하면 다음과 같다.

(18a)

(18b)

여기서 $\hat H_n^{(1) \prime}(x)$ = $d \hat H_n^{(1)}(x) /dx$이다. 식 (16)과 (18)을 고려하면 자유 공간 상의 전기장과 자기장은 다음 형태로 표현되어야 한다. 물론 구 좌표계 함수의 완비성(completeness of function in spherical coordinates)이 성립하기 때문에 아래 식은 임의의 전기장과 자기장을 표현할 수 있다.

(19)

(20)

여기서 $A_{nm}$과 $B_{nm}$은 각각 $r$방향에 대한 TE$_{nm}$과 TM$_{nm}$ 모드의 계수이다.

아직 구하지 않은 함수 $\bar L$의 모드 계수는 0이 되어야 한다. 이를 확인하기 위해 $\bar L$ 함수에 발산(divergence)을 취해보자.

(21)

즉, 생성 함수 $\psi$는 0이 아니기 때문에 $\bar L$ 함수의 발산도 0이 아니다. $\bar L$이 전기장이나 자기장을 표현한다면 전하(electric charge)나 자하(magnetic charge)가 없는 전기장과 자기장의 발산은 반드시 0이 되어야 하므로 $\bar L$은 자유 공간의 전자장 표현식에 사용되면 안된다.

2013년 5월 23일 목요일

원통 좌표계의 MNL 함수(MNL Functions in Circular Cylindrical Coordinates)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "원통 좌표계의 MNL 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 원통 좌표계의 전자장 표현식
2. MNL 함수를 이용한 전자장 표현식
3. 데카르트 좌표계의 MNL 함수

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데카르트 좌표계의 MNL 함수 유도와 유사하게 기계적인 방법으로 원통 좌표계의 MNL 함수를 만들 수 있다. 먼저 다음의 일반적인 MNL 함수 정의식을 고려하자.

(1)

(2)

식 (1)과 (2)에서 MNL 함수의 생성 함수(generating function) $\psi$는 아래 식을 만족한다.

(3)

식 (2)에 있는 안내 벡터(piloting vector) $\bar p$는 다음 관계가 성립해야 한다.

(4)

원통 좌표계는 데카르트 좌표계의 $z$방향을 공유하고 있으므로 안내 벡터는 $\bar p = \hat z$라 생각하자. 그러면 데카르트 좌표계와 비슷하게 식 (1)은 원통 좌표계에서 다음처럼 표현된다.

(5)

(6)

그러면 마지막으로 우리가 해야 할 일은 식 (3)의 생성 함수 $\psi$를 정하는 일이다. 이 과정 자체는 무척 번거로운 과정이지만 이미 다음처럼 원통 좌표계에서 전자장 표현식을 얻었기 때문에 어렵지 않다.

(7)

여기서 $Z_n(\cdot)$는 $n$차 베셀 함수 혹은 한켈 함수이다.

만약 자유 공간을 통해 전파하는 전자파를 원통 좌표계에서 표현한다면 식 (7)은 다음처럼 표현할 수 있다.

(8)

식 (8)을 식 (5)와 (6)에 넣고 정리하면 다음과 같다.

(9)

(10)

자유 공간의 경계 조건(boundary condition)은 복사 조건(radiation condition) 밖에는 없으므로 식 (9)와 (10)은 전기장(electric field)이나 자기장(magnetic field)을 마음대로 표현할 수 있다. 따라서 임의의 전기장과 자기장은 원통 좌표계 함수의 완비성(completeness of function in circular cylindrical coordinates)을 이용해 다음과 같이 표현된다.

(11)

여기서 $A_n (\zeta)$, $B_n (\zeta)$는 각각 $z$방향에 대한 TE(Transverse Electric)와 TM(Transverse Magnetic) 모드(mode)의 계수이다. 식 (2)에 있는 $\bar L$ 함수는 자유 공간에서는 의미가 없다. 이를 확인하기 위해 $\bar L$ 함수에 발산(divergence)을 취해보자.

(12)

즉, 생성 함수 $\psi$는 0이 아니기 때문에 $\bar L$ 함수의 발산도 0이 아니다. $\bar L$이 식 (11)처럼 전기장이나 자기장을 표현한다면 전하(electric charge)나 자하(magnetic charge)가 없는 전기장과 자기장의 발산은 반드시 0이 되어야 하므로 $\bar L$은 자유 공간의 전자장 표현식에 사용되면 안된다.

[다음 읽을거리]
1. 구 좌표계의 MNL 함수

2013년 5월 6일 월요일

데카르트 좌표계의 MNL 함수(MNL Functions in Cartesian Coordinates)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "데카르트 좌표계의 MNL 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 데카르트 좌표계의 전자장 표현식
2. MNL 함수를 이용한 전자장 표현식

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기계적으로 전자장 표현식(electromagnetic field representations)을 만들어 주는 획기적인 도구인 MNL 함수 개념을 이용해서 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)의 MNL 함수 표현식을 만들어 보자.

(1)

(2)

식 (1)과 (2)에서 MNL 함수의 생성 함수(generating function) $\psi$는 아래 식을 만족한다.

(3)

다만 식 (2)에 있는 안내 벡터(piloting vector) $\bar p$는 다음 관계식을 반드시 만족해야 한다.

(4)

편하게 안내 벡터 $\bar p = \hat z$라고 가정하자. 그러면 $\bar p = \hat z$는 식 (4)를 쉽게 만족한다. 이 경우 식 (1)은 다음처럼 간략화될 수 있다.

(5)

(6)

[그림 1] 구형 도파관의 구조(출처: wikipedia.org)

위 내용을 가지고 구형 혹은 사각 도파관(矩形導波管, rectangular waveguide)의 전자장을 표현해 보자. 먼저 생성 함수는 다음처럼 두 가지로 정의한다.

(7)

식 (7)의 첫째식에서 위첨자 $H$는 자기장 경계 조건을 의미한다. 따라서 생성 함수와 안내 벡터 $\bar p = \hat z$를 동시에 고려하면 위첨자 $H$는 $z$방향에 대한 TE(Transverse Electric) 모드(mode)를 표현한다. 마찬가지로 위첨자 $E$는 전기장 경계 조건을 의미하며 $z$방향에 대한 TM(Transverse Magnetic) 모드를 나타낸다.

MNL 함수의 유용성은 구형 도파관 내부의 전자장을 구할 때 나타난다. 식 (7)은 단순한 스칼라 함수를 나타내지만 식 (5)와 (6)에 대입하면 구형 도파관에 존재하는 모든 전자장을 쉽게 나타낼 수 있다.

(8)

(9)

(10)

(11)

따라서 구형 도파관의 모든 전기장은 다음처럼 간단히 표현된다.

(12)

여기서 $A_{mn}$과 $B_{mn}$은 각각 TE$_{mn}$과 TM$_{mn}$ 모드의 계수이다. 식 (12)에 회전(curl)을 취하고 식 (1)과 (13)을 적용하면 자기장도 식 (14)처럼 얻을 수 있다.

(13)

(14)

여기서 $\eta$[= $\sqrt{\mu/\epsilon}$]는 고유 임피던스(intrinsic impedance)이다.

MNL 함수에서 $\bar M$과 $\bar N$ 함수는 위에서 사용했지만 $\bar L$ 함수는 쓰지 않았다. $\bar L$ 함수가 없더라도 도파관 내부의 모든 전자장을 표현할 수 있었다. 이 특성은 왜 성립할까? 이를 이해하기 위해 $\bar L$ 함수를 다음처럼 구해보자.

(15)

(16)

위에 제시한 $\bar L$ 함수에 발산(divergence)을 취하면 다음 관계를 만족한다.

(17)

즉, 생성 함수 $\psi$는 0이 아니기 때문에 $\bar L$ 함수의 발산도 0이 아니다. $\bar L$이 식 (12)나 (14)처럼 전기장이나 자기장을 표현한다면 전하(electric charge)나 자하(magnetic charge)가 없는 전기장과 자기장의 발산은 반드시 0이 되어야 하므로 $\bar L$은 구형 도파관의 전자장 표현식에 사용되면 안된다.

식 (5)를 이용하면 함수 $\bar M$과 $\bar L$은 항상 수직임을 보일 수 있다.