[경고] 아래 글을 읽지 않고 "구 좌표계의 MNL 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 구 좌표계의 전자장 표현식
2. MNL 함수를 이용한 전자장 표현식
3. 데카르트 좌표계의 MNL 함수
4. 원통 좌표계의 MNL 함수
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16a)
(16b)
(17)
(18a)
(18b)
(19)
(20)
(21)
2. MNL 함수를 이용한 전자장 표현식
3. 데카르트 좌표계의 MNL 함수
4. 원통 좌표계의 MNL 함수
데카르트 좌표계와 원통 좌표계의 MNL 함수 유도법을 이용하면 구 좌표계(spherical coordinate system)의 MNL 함수도 기계적으로 쉽게 구할 수 있다. 구 좌표계에서 정한 MNL 함수는 벡터 구면파 함수(vector spherical wave function)라고도 부른다. 다만 식 (1)에 제시한 안내 벡터(piloting vector) $\bar p$는 데카르트 좌표계 혹은 원통 좌표계[$\bar p = \hat z$]와는 다르게 정한다.
(1)
물론 $\bar p = \hat z$라고 해도 되지만 구 좌표계 $(r, \theta, \phi)$에서 $z$축 단위 벡터(unit vector)는 다음처럼 복잡하게 표현되므로 권장하지 않는다.
(2)
그러면 단순하게 안내 벡터는 $r$의 함수라 가정하여 $\bar p = f(r) \hat r$을 식 (1)에 대입해 식 (7)처럼 계산해 보자.
(3) (4) (5) (6) (7)
따라서, $r \ne 0$인 경우 구 좌표계를 위한 가장 단순한 안내 벡터는 위치 벡터(position vector)로 정의한다.
(8)
다음으로 할 일은 구 좌표계에 대한 스칼라 생성 함수(scalar generating function) $\psi$ 찾기이다.
(9)
구 좌표계의 파동 함수는 악(?)소리나게 복잡하지만, 구 좌표계의 전자장 표현식(electromagnetic field representations in spherical coordinates)을 이용하기 때문에 큰 문제는 없다. 장애물이 없는 3차원 공간의 구 좌표계 자기 벡터 포텐셜 $A_r$ 표현식은 다음 형태를 가진다.
(10) (11)
식 (11)을 이용해서 구 좌표계의 스칼라 생성 함수 $\psi_{nm}$를 정하면 다음과 같다.
(12) (13)
여기서 $z_n(x)$는 구면 베셀 함수(spherical Bessel function)이다. 이 다음부터는 기계적으로 MNL 함수를 구하면 된다.
(14)
여기서 다음 관계가 성립한다.
(15)
따라서 MN 함수는 다음처럼 표현된다.
(16a) (16b) (17)여기서 $P_n^{m \prime}(x)$ = $d P_n^m(x) /dx$이다. 식 (12)를 식 (17)에 대입해 조금 더 정리하면 다음과 같다.
(18a) (18b)여기서 $\hat H_n^{(1) \prime}(x)$ = $d \hat H_n^{(1)}(x) /dx$이다. 식 (16)과 (18)을 고려하면 자유 공간 상의 전기장과 자기장은 다음 형태로 표현되어야 한다. 물론 구 좌표계 함수의 완비성(completeness of function in spherical coordinates)이 성립하기 때문에 아래 식은 임의의 전기장과 자기장을 표현할 수 있다.
(19) (20)
여기서 $A_{nm}$과 $B_{nm}$은 각각 $r$방향에 대한 TE$_{nm}$과 TM$_{nm}$ 모드의 계수이다.
아직 구하지 않은 함수 $\bar L$의 모드 계수는 0이 되어야 한다. 이를 확인하기 위해 $\bar L$ 함수에 발산(divergence)을 취해보자.
(21)
즉, 생성 함수 $\psi$는 0이 아니기 때문에 $\bar L$ 함수의 발산도 0이 아니다. $\bar L$이 전기장이나 자기장을 표현한다면 전하(electric charge)나 자하(magnetic charge)가 없는 전기장과 자기장의 발산은 반드시 0이 되어야 하므로 $\bar L$은 자유 공간의 전자장 표현식에 사용되면 안된다.
