1. 대칭적인 맥스웰 방정식
2. 미분 방정식의 만병통치약: 그린 함수
3. 표면 등가의 원리
4. 프란츠 공식
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전자파 산란(electromagnetic scattering)에 많이 쓰이는 스트래튼–추 공식(Stratton–Chu formula)은 전자파 분야에 많은 기여를 한 스트래튼 교수Julius Adams Stratton(1901–1994)와 추 교수朱蘭成, Lan Jen Chu(1913–1973)가 개발한 산란 공식이다[1]. 유명한 추 교수는 소형 안테나(small antenna)의 기반 이론인 추 한계(Chu limit)를 제안한 장본인이다. 스트래튼–추 공식은 엄밀하게는 프란츠 공식(Franz formula)[2]과 동일하지만 제안자가 워낙 유명하고 최종식에 복잡한 미분 연산이 적어 프란츠 공식보다는 많이 쓰인다. 하지만 연대순으로 보면 스트래튼–추 공식이 먼저 나오고 프란츠 공식이 나중에 나왔다.[대가가 그냥 되지는 않는다. 먼저 시작한 업적이 많아야 대가다.] 스트래튼–추 공식의 쉬운 유도는 아래의 프란츠 공식부터 출발한다[3].
(1)
(2)
여기서 $k$ = $\omega \sqrt{\mu \epsilon}$, $F, A$는 각각 전기 및 자기 벡터 포텐셜(electric and magnetic vector potential), $\bar E ( \bar r)$와 $\bar H ( \bar r)$는 [그림 1]처럼 $s'$ 내부 전자장을 $0$으로 만드는 등가적인 전류와 자류 밀도가 만드는 전기장과 자기장이다. 또한 $\bar E ( \bar r)$와 $\bar H ( \bar r)$를 만든 실제 원천은 $s'$ 내부에 있기 때문에, $\bar E ( \bar r)$와 $\bar H ( \bar r)$가 정의된 영역인 $s'$의 외부에서는 원천이 없다. 예를 들어, $s'$ 안에 있는 안테나가 복사해서 만드는 전자기장이 등가 전류 및 자류 밀도를 $s'$상에 만드는 상황이다. 표면 $s'$은 실제 원천을 포함하는 한 얼마든지 커지거나 작아질 수 있다.
우리가 생각하는 산란 영역이 자유 공간이면, $G_A(\cdot)$와 $G_F(\cdot)$는 3차원 자유 공간 그린 함수(3D free-space Green's function) $g(\bar r, \bar r'; k)$와 같다.
[그림 1] 영(零)의 전자기장을 이용한 표면 등가의 원리
(3)
여기서 간략화를 위해 $g(\bar r, \bar r')$ = $g(\bar r, \bar r'; k)$로 둔다. 식 (4)의 마지막식을 더 간단히 정리한다.
(5)여기서 $\bar r \ne \bar r'$ 조건으로 인해 전류 밀도는 없어서 $\bar \nabla' \times \bar H(\bar r')$ = $-i\omega \epsilon \bar E(\bar r')$이다. 식 (1)처럼 식 (5)를 면적 적분하고 식 (5)의 마지막식에 발산 정리(divergence theorem)를 쓴다.
(6)
지금까지 유도한 식 (7)과 (8)이 전자파 산란의 핵심인 스트래튼–추 공식이다. 하지만 여기까지는 스트래튼–추 공식의 맛보기이고, 이 공식이 표현하는 세계는 더 깊고 넓다. 조금 더 깊게 가본다. 식 (7)과 (8)의 좌변에 있는 $\bar E ( \bar r)$와 $\bar H ( \bar r)$은 임의가 아니다. 식 (7)과 (8)에 사용한 그린 함수 $g(\bar r, \bar r')$가 복사 조건(radiation condition)을 만족하기 때문에, 자연스럽게 $\bar E ( \bar r)$와 $\bar H ( \bar r)$는 $s'$의 내부에서 외부로 복사하는 전자기장이 된다. 최종 결과인 $\bar E ( \bar r)$와 $\bar H ( \bar r)$가 복사 조건을 만족한다는 사실은 부수적이지만, 실제 문제에 적용할 때는 놓치면 안되는 매우 중요한 개념이다. 이를 이해하기 위해 [그림 2]와 같은 PEC(완전 전기 도체, Perfect Electric Conductor) 산란체를 고려한다.
[그림 2] PEC 산란체를 등가 전류 밀도로 치환
영역 (II)의 전자기장 $\bar E_2 ( \bar r)$와 $\bar H_2 ( \bar r)$를 다음과 같은 입사파(incident field)와 산란파(scattered field)의 합인 전체장(total field)으로 표시한다.
(9)
복사 조건을 만족하는 식 (7)과 (8)의 좌변 전자기장이 바로 산란장인 $\bar E_s ( \bar r)$과 $\bar H_s ( \bar r)$이다. 또한 식 (7)과 (8)의 표면 적분 내부에 있는 전자기장은 표면 전류 및 자류 밀도를 표현하기 위한 성분이므로, 경계 조건에 부합하기 위해 산란장이 아닌 전체장으로 표현해야 한다. 산란체 표면은 PEC이므로 경계 조건에 의해 $\hat n \times \bar H_{\rm tot}$ = $\bar J_s$, $\bar E_{\rm tot} \times \hat n$ = $0$이 성립한다. 이 결과를 식 (7)에 대입하면 산란 전기장은 다음과 같다.
(10)
(11)
(12)여기서 $\bar r$은 임의의 PEC 표면을 가르키므로 피적분 함수에 특이점이 항상 존재한다. 실제로 식 (12)를 적분할 때는 특이점을 피하는 적분과 특이점만을 포함하는 미소 적분으로 나누어서 계산한다. 식 (12)는 전기장에 대한 경계 조건을 사용한 적분 방정식이므로 EFIE(전기장 적분 방정식, Electric Field Integral Equation)라고 한다. 마찬가지 방법으로 산란 자기장은 다음처럼 표현된다.
(13)자기장 경계 조건을 활용해 식 (12)와는 다른 MFIE(자기장 적분 방정식, Magnetic Field Integral Equation)를 도출할 수 있다.
(14)여기서 $\bar r$은 임의의 PEC 표면을 가르킨다. 식 (12)와 (14)에 제시한 EFIE와 MFIE는 근사가 없는 정확한 적분 방정식이다. 하지만 임의 적분 방정식을 항상 풀 수는 없기 때문에 EFIE와 MFIE에 근사 조건을 적용해서 풀어야 한다. 통상적으로는 전류 밀도를 이산화하여 EFIE와 MFIE를 선형화한 MoM(모멘트 기법, Method of Moments)이 PEC 산란체 해석에 많이 사용된다.
여기서 드는 의문점 하나. 식 (7)과 (8)의 좌변과 우변은 모두 동일한 전자기장을 사용해 공식화하지만, 식 (10)과 (13)의 좌변과 우변에 사용한 전자기장은 서로 다르다. 즉, 식 (10)과 (13)의 좌변은 산란장이지만, 우변은 전체장 기준이다. 어디서 이런 차이가 생겼을까? 맥스웰 방정식부터 시작해 스트래튼–추 공식을 더 깊게 이해한다. 산란체가 없는 경우의 맥스웰 방정식은 다음과 같다.
(15)
(16)식 (16)에서 식 (15)를 빼면 산란장에 대한 맥스웰 방정식을 얻는다.
(17)여기서 $\bar E_s, \bar H_s$는 장애물과 함께 존재하며, 장애물은 $\bar E_i, \bar H_i$의 영향까지 포함해 $\bar J_s, \bar M_s$로 표현된다. 따라서 산란장을 만드는 전류 및 자류는 분명 산란체에 의한 $\bar J_s$와 $\bar M_s$이다. 또한 [그림 2]와 같은 PEC 산란체의 경계 조건으로 인해 표면에서는 $\bar M_s$ = $0$이며 $\bar J_s$만 존재한다. 이 과정을 식 (7)과 (8)의 조건과 비교한다. 식 (7)과 (8)의 유도에서 등가가 아닌 원래 원천은 표면 $s'$ 내부에 있다고 가정하므로, $s'$의 외부 전자장 $\bar E_\text{tot}, \bar H_\text{tot}$은 항상 복사 조건을 만족한다. 그래서 식 (7)과 (8)의 좌변과 우변은 동일한 전자기장을 사용할 수 있다. 하지만 식 (10)과 (13) 유도에서는 [그림 2]와 같이 원래 원천 $\bar J_i, \bar M_i$는 $s'$의 외부에 존재해서 산란에 의해 $\bar J_s, \bar M_s$를 표면 $s'$에 만든다. 이 경우에 원천 $\bar J_s, \bar M_s$가 마치 $s'$ 내부에 있는 것처럼 내부에서 외부로 향하는 전자파 $\bar E_s, \bar H_s$를 생성한다. 그래서 식 (10)과 (13)처럼 좌변은 산란장 $\bar E_s, \bar H_s$가 되고, 전자파를 만든 $\bar J_s, \bar M_s$는 전체장 $\bar E_\text{tot}, \bar H_\text{tot}$로 표현한다.
추가적으로 스트래튼–추 공식이 성립하기 위해서는 [그림 1]처럼 $s'$ 내부의 전자기장이 $0$이 되어야 한다.[그림 1에서 영역 (I)이다.] 이 조건이 성립하는가? 당연히 성립한다. 영역 (I) 내부에 원천이 없고 영역 (I)을 둘러싸는 표면적에서 전기장이 항상 $0$이기 때문이다. 이 특성을 증명하기 위해 포인팅의 정리(Poynting's theorem)를 적용하여 영역 (I)에 있는 내부 전자기장 관계식을 다음처럼 만들어본다.
(18)식 (18)에 의해 영역 (I)을 구성하는 유전율과 투자율의 허수부[손실부]가 약간이라도 있다면 내부 전기장과 자기장은 모든 체적에서 $0$이 된다. 추가적으로 맥스웰 방정식의 쌍대성(duality of Maxwell's equations)을 활용하면, PMC(완전 자기 도체, Perfect Magnetic Conductor) 산란체를 위한 EFIE와 MFIE를 다음처럼 유도할 수 있다.
(19a)
(19b)
(20a)
(20b)표면 전류 밀도 $\bar J_s (\bar r)$가 만드는 EFIE와 MFIE를 더 쉽게 유도하려면 자기 벡터 포텐셜 $\bar A_s (\bar r)$부터 출발해서 식 (13)과 같은 $\bar H_s(\bar r)$을 구한다.
(21)
(22)여기서 $g (\bar r, \bar r')$ = $G_A(\bar r, \bar r'; k)$이다. 식 (22)에 회전 연산자를 적용해서 벡터 항등식으로 정리한다.
(23)여기서 $\bar J (\bar r)$은 표면 전류 밀도, $\bar J_s (\bar r)$을 표현하는 체적 전류 밀도이다. 식 (23)의 마지막식에 나온 표면 적분을 더욱 간략화한다.
(24)여기서 $\bar J (\bar r')$은 표면으로만 흐르기 때문에 $d\bar a'$에 항상 수직, $\bar J (\bar r')$의 발산은 식 (11)에 따라 $\bar J_s (\bar r')$의 발산으로 바뀐다. 최종적으로 식 (24)를 식 (23)에 대입해서 $\bar E_s(\bar r)$에 대해 깔끔하게 정리하면, 식 (10)이 그대로 얻어진다. 프란츠 공식을 쓰는 식 (1), (2)보다는 자기 벡터 포텐셜의 정의인 식 (21)부터 시작하는 방식이 조금 더 직관적이고 수월하다. 맥스웰 방정식에 의지하지 않고 자기 벡터 포텐셜의 공식인 식 (25)를 기반으로 식 (10)을 쉽게 유도할 수도 있다. 식 (25)에 식 (21)을 대입한 후 식 (24)를 다시 대입해서 식 (26)을 얻는다.
(25)
(26)식 (26)의 마지막식에 $\bar \nabla g(\cdot)$ = $-\bar \nabla' g(\cdot)$를 사용해서 식 (10)을 깔끔하게 유도한다. 이상을 모두 종합하면, EFIE와 MFIE는 다양한 방식으로 만들어낼 수 있다. 프란츠 공식으로부터 스트래튼–추 공식를 만들어서 증명이 가능하고, 맥스웰 방정식과 그린 함수 혹은 벡터 포텐셜의 공식을 교묘하게 써서 공식화할 수도 있다. 가장 간단한 방법은 식 (25)와 벡터 항등식을 이용하는 기법이다. 이 방법이 쉬워진 이유는 식 (25)가 그 자체로 맥스웰 방정식을 담고 있기 때문이다.
스트래튼–추 공식은 PEC뿐만 아니라 임피던스 경계 조건(impedance boundary condition)을 가진 매질에도 응용 가능하다[5]. 등가 전류 및 자류 밀도 $\bar J_s(\bar r), \bar M_s(\bar r)$를 모두 포함하도록 식 (12)에 제시된 EFIE를 다음과 같이 변경한다.
(27a)
(27b)식 (27b)에 임피던스 경계 조건인 식 (28)을 대입해서 $\bar J_s(\bar r)$에 대한 최종적인 EFIE를 유도한다.
(28)
(29)여기서 $Z_s$는 경계 임피던스(boundary impedance)이다. 식 (29)와 비슷한 방식으로 임피던스 경계 조건에 대한 MFIE도 공식화된다.
(30a)
(30b)
(31)식 (31)에는 미지수인 $\bar M_s(\bar r')$ 혹은 $\bar J_s(\bar r') \times \hat n'$의 발산이 있으므로, 수치 계산할 때 많이 불편하다. 이에 식 (24)와 동일한 방식으로 발산 정리(divergence theorem)를 사용해서 $\bar M_s(\bar r')$의 발산을 없앤다.
(32)여기서 $v'$는 표면적이 $s'$인 체적, $\bar M(\bar r')$은 $\bar M_s(\bar r')$을 체적으로 확장한 체적 전류 밀도, $\hat n'$ = $\hat R$, $\bar r'$과 $\bar r$은 각각 $v'$의 내부와 외부에 있다. 식 (32)를 식 (31)에 적용해서 계산이 훨씬 편한 MFIE를 얻는다.
(33)새롭게 만든 식 (29), (31), (33)에서 PEC 조건인 $Z_s$ = $0$을 넣으면, 식 (29), (31), (33)은 정확히 식 (12), (14)로 간략화된다.
[1] J. A. Stratton and L. J. Chu, "Diffraction theory of electromagnetic waves," Phys. Rev., vol. 56, no. 1, pp. 99–107, July 1939.
[2] W. Franz, "Zur formulierung des Huygensschen prinzips (For the formulation of Huygens' principle)," Zeitschrift Naturforschung Teil A (Journal of Natural Research Part A), vol. 3, pp. 500–506, 1948.
[3] C.-T. Tai, "Kirchhoff theory: scalar, vector, or dyadic?," IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 20, no. 1, pp. 114-115, Jan. 1972.
[4] 이정석, 송태림, 두진경, 구태완, 육종관, "Stratton–Chu 공식을 이용한 측정된 근거리장에서 원거리장으로의 변환에 관한 연구", 한국전자파학회논문지, 제24권, 제3호, pp. 316–323, 2013년 3월.
[5] A. W. Glisson, "Electromagnetic scattering by arbitrarily shaped surfaces with impedance boundary conditions," Radio Sci., vol. 27, no. 06, pp. 935–943, Nov.–Dec. 1992.
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