조금은 느리게 살자: 5월 2011

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "전자기장의 경계 조건"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

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[그림 1] 둘레 길이에 접선 경계 조건이 적용된 2차원 파동(출처: wikipedia.org)

맥스웰 방정식(Maxwell's equations)의 해답이 유일하려면 반드시 경계 조건(boundary conditions)을 명확히 설정해 주어야 한다. 이 경우의 경계 조건은 정확히 무엇을 말할까? 전자기파에 대한 유일성 정리(uniqueness theorem for electromagnetic wave)를 다시 한 번 살펴본다.

(1)

여기서 $\bar E_d, \bar H_d$는 임의의 두 전자기장의 차이이며 다음으로 정의한다.

(2)

식 (1)에서 해답이 유일하기 위해서는 $\bar E_1$ = $\bar E_2$, $\bar H_1$ = $\bar H_2$[혹은 $\bar E_d$ = $\bar H_d$ = $0$]이 성립해야 한다. 이를 위해 식 (1)의 좌변은 $0$이 되어야 한다. 면적 벡터 방향[$d \bar a$ 벡터 방향: 표면적을 뚫고나가는 법선 방향]으로 형성된 포인팅 벡터(Poynting vect or: $\bar E \times \bar H$)가 $0$이면 이 조건이 성립한다. 포인팅 벡터가 $0$이 되려면, 이를 구성하는 전기장($\bar E_d$)과 자기장($\bar H_d$)의 접선 성분[면적 벡터 방향에 직각인 성분]은 당연히 $0$[혹은 접선 성분에서 $\bar E_1$ = $\bar E_2, \bar H_1$ = $\bar H_2$가 성립]이 되어야 한다. 따라서 문제를 정의한 면적 적분[식 (1)의 $s$]상에서 전기장(electric field)이나 자기장(magnetic field)의 접선 방향 경계 조건(tangential boundary conditions)이 유일하게 정의되어야 맥스웰 방정식의 해가 유일해진다.

만약 전기장과 자기장의 접선 방향 경계 조건이 동시에 정의되면 어떻게 될까? 이런 경우에는 전기장과 자기장 경계 조건은 서로 독립이 되지 못하고 종속 관계가 되어야 한다. 즉, 전기장 경계 조건이 정해지면 자동적으로 자기장 경계 조건이 얻어지며 그 반대도 성립해야 한다. 예를 들어, 식 (1)의 면적 적분[면적 벡터 방향이 $z$축]에 대해 전기장의 접선 방향[$x, y$축] 경계 조건이 정해지면 유일성 정리에 의해 내부 체적 전기장의 $x, y$축 성분[$E_x, E_y$]이 유일하게 정해지게 된다. 그러면 쿨롱의 법칙(Coulomb's law)에 의해 아래와 같이 $z$방향 전기장($E_z$)이 유일하게 정의된다.

(3)

여기서 편의상 전하 밀도(electric charge density)는 $0$이라 생각한다. 식 (3)에서 $E_z$의 편미분(partial differentiation)을 얻기 때문에 $E_z$가 유일하다는 부분은 다소 문제가 있어 보인다.[∵ 어떤 함수의 편미분이 정해진다고 해서 원래 함수를 바로 얻을 수는 없다. 왜냐하면 편미분의 적분 상수만큼 다른 해가 무수히 많이 있기 때문이다.] 이 사소한 문제를 해결하려면 푸리에 변환 기법(Fourier transform technique)을 사용해야 한다.[∵ 임의의 전기장은 2차원 푸리에 변환으로 표현된다. $x, y, z$방향 전기장에 대한 푸리에 변환을 식 (3)에 대입하면 $E_z$가 유일하게 결정됨을 보일 수 있다.] 전기장이 모두 정의되기 때문에 패러데이의 법칙(Faraday's law)을 이용하여 자기장까지 유일하게 정할 수 있다.

(4: 패러데이의 법칙)

그러면 자기장 경계 조건은 식 (4)에서 얻어진 자기장 경계면의 값과 동일해야 한다. 즉, 자기장 경계 조건은 마음대로 정할 수 없고 전기장에서 유도된 자기장을 이용해서 정해야 한다.

1. 접선과 법선 경계 조건

[그림 1.1] 경계 영역

맥스웰 방정식에 대한 고민을 통해 얻은 결과를 보면, 중요한 경계 조건은 접선 방향(接線方向, tangential direction) 성분이다. 그래서 [그림 1.1]과 같은 구조에 대해 전기장과 자기장의 접선 방향 경계 조건을 구한다.

[그림 1.2] 접선 방향 경계 조건

[그림 1.2]와 같은 전기장의 접선 방향 경계 조건을 얻기 위해 식 (4)에 있는 패러데이 법칙에 스토크스 정리(Stokes' theorem)를 적용한다.

(1.1)

여기서 $\hat n$은 영역 (II)에서 (I)로 향하는 단위 벡터(unit vector), 면적 적분을 $0$으로 보내기 위해 선 적분 구간 $C_2$와 $C_4$는 $0$으로 가는 극한을 취하며, 면적 적분에서 자속 밀도(magnetic flux density)는 발산하지 않는다고[혹은 유한하다고] 생각한다. 또한 선 적분 구간 $C_1$과 $C_3$은 매우 작아서 이 적분 구간에서 전기장의 변화는 거의 없다고 가정한다. 마찬가지 논의를 식 (1.2)의 암페어 법칙(Ampere's law)에 응용하면 아래 경계 조건을 얻을 수 있다.

(1.2: 변위 전류 포함 암페어의 법칙)

(1.3)

접선 방향 경계 조건에 부수적이기는 하지만 동일한 방법으로 [그림 1.3]의 법선 방향(法線方向, normal direction) 경계 조건도 생각할 수 있다.

[그림 1.3] 법선 방향 경계 조건

식 (1.4)의 쿨롱 법칙(Coulomb's law)에 가우스 정리(Gauss' theorem)를 써서 식 (1.5)를 얻을 수 있다.

(1.4: 쿨롱의 법칙)

(1.5)

여기서 체적 적분을 $0$으로 만들기 위해 [그림 1.3]의 원통의 높이를 $0$이 되게 하고 전하 밀도는 유한하다고 가정한다. 또한 면적 적분 $S_1, S_2$는 매우 작아서 전속 밀도(electric flux density)의 변화는 거의 없다고 전제한다. 마찬가지로 자속 밀도(magnetic flux density)에 대해서도 동일한 계산을 수행하면 아래를 얻는다.

(1.6: 비오-사바르의 법칙)

(1.7)

여기에서 생각할 부분이 하나 있다. 법선 방향 경계 조건이 부수적이라는 뜻은 접선 방향 경계 조건을 통해 법선 경계 조건을 얻을 수 있음을 의미한다. 그런데, 어떻게 이 개념을 증명할 수 있을까? 참고문헌 [1]에서는 아주 손쉬운 방법으로 법선 방향 경계 조건이 접선 방향에 종속임을 증명한다. 쉽게 접근하기 위해 [그림 1.1]에서 $\hat n$ = $\hat z$, 접선 방향은 $x, y$축에 있다고 가정한다. 전기장의 접선 경계 조건이 자속 밀도의 법선 경계 조건을 만드는 관계를 증명하기 위해 $\bar M$ = $0$이라 놓고 식 (4)를 영역 (I), (II)에 대해 정리한다.

(1.8)

식 (1.8)의 위 식과 아래 식을 서로 빼주면 아래 결과를 얻는다[1].

(1.9)

접선 성분이 연속이면 접선 성분의 접선 방향 편미분도 서로 같다는 사실에 주의해야 한다. 이 부분은 미분(differentiation)의 정의를 가지고 쉽게 증명할 수 있다. 예를 들어, $y$축 성분의 $x$방향 편미분 증명은 아래와 같다.

(1.10)

만약 $\bar M \ne 0$이면 증명이 더 복잡해지지만, 여전히 접선 방향 경계 조건을 이용해 법선 방향 경계 조건을 유도할 수 있다.

(1.11)

식 (1.11)의 식을 서로 빼주고 전기장의 접선 방향 경계 조건인 식 (1.1)을 대입하면 아래 식을 얻을 수 있다.

(1.12)

식 (1.12)의 $\Delta z$를 $0$으로 보내고 식 (1.13)의 자하 보존 법칙(conservation of magnetic charge)을 식 (1.12)에 넣으면, 정확하게 식 (1.7)에 있는 법선 방향 경계 조건을 얻을 수 있다.

(1.13)

여기서 $M_{sx}$ = $M_x \Delta z$, $M_{sy}$ = $M_y \Delta z$, $M_{sz}$ = $M_z \Delta z$, $\rho_{ms}$ = $\rho_m \Delta z$이다. 식 (1.13)은 전하 보존 법칙(conservation of electric charge)의 쌍대성(duality)을 이용하면 쉽게 유도된다. 이와 유사한 방식으로 자기장의 접선 경계 조건이 전속 밀도의 법선 경계 조건이 됨을 쉽게 증명할 수 있다.

전자기파의 유일성 정리와 경계 조건을 동시에 생각하면 한 가지 미심쩍은 점을 발견할 수 있다. 주어진 체적내에서 전자기장값이 유일하기 위해서는 면적 적분상의 전기장이나 자기장이 고정되면 된다. 하지만 일반적으로 경계 조건을 사용할 때는 전기장과 자기장의 접선 경계 조건을 동시에 사용한다. 어디에 문제가 있을까? 이런 고민을 통해 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)의 참맛을 조금씩 느낄 수 있다. 위에서 제시한 딜레마는 이렇게 해결할 수 있다. 먼저 전기장의 접선 경계 조건이 주어진다고 가정한다. [그림 1.1]의 영역 (II)가 PEC(Perfect Electric Conductor)라면 전기장의 접선 성분은 항상 $0$으로 고정되기 때문에 영역 (I)의 전자기장은 유일하게 정의된다. 즉, 문제의 답을 구할 수 있다는 뜻이다. 영역 (II)의 매질이 PEC가 아니라면 자기장의 접선 경계 조건까지 고려해야 유일한 답을 얻을 수 있다. 왜냐하면 영역 (I) 뿐만 아니라 영역 (II)에서도 유일성 정리가 적용되기 때문이다. 영역 (I)의 유일성을 위해 전기장의 접선 경계 조건을 쓸 수 있지만 영역 (II)의 전기장도 미지수이기 때문에 경계 조건이 고정되지 않는다. 그래서 영역 (II)의 유일성에는 전기장의 접선 경계 조건을 다시 사용할 수 없다. 만약 두 영역의 유일성 조건을 위해 동일한 전기장 조건을 양쪽에 쓰면, 경계 조건이 고정되지 않고 변수처럼 변동되어서 문제가 풀리지 않는다. 이 상황에는 영역 (II)의 유일성 계산에 쓰지 않은 자기장의 접선 경계 조건을 선택해야 한다.

전기장보다 자기장의 접선 경계 조건이 먼저 주어지면, 영역 (II)의 매질이 PMC(Perfect Magnetic Conductor)인가 봐야 한다. PMC 매질은 자기장의 접선 성분이 항상 $0$으로 고정되기 때문에, 영역 (I)의 전자기장 역시 유일하게 정의된다. PMC가 아니라면 전기장과 자기장의 접선 경계 조건을 동시에 사용해야 영역 (I)과 (II)의 전자기장을 유일하게 정할 수 있다.

2. 임피던스 경계 조건

[그림 2.1] 임피던스 경계 조건을 정의하기 위한 구조

매질 $\mu_2, \epsilon_2$로 가득 찬 영역 (II)를 두께가 없는 임피던스 판으로 바꾸는 임피던스 경계 조건(impedance boundary condition, IBC)도 많이 쓰인다[2], [3]. 임피던스 경계 조건은 접선과 법선 경계 조건을 모두 포함하고 있어서 혼합 경계 조건(mixed boundary condition)이라고도 한다. 접선 전기장과 자기장의 관계를 경계 임피던스(boundary impedance)인 $Z_s$로 선택함으로써, 임피던스 경계 조건은 3차원으로 계산해야 하는 영역 (II)의 현상을 $Z_s$만 가진 2차원 문제로 바꾼다. 쉬운 상상을 위해 $\hat n$ = $-\hat r$[그림 4에서 $\theta$ = $0^\circ$]인 균일 평면파(uniform plane wave)의 전자기장 관계에서 유추해서, 영역 (I)과 (II)의 경계면 혹은 임피던스 경계 조건에 생기는 접선 전기장과 자기장 $\bar E_t, \bar H_t$의 연결 특성을 다음처럼 정의한다.

(2.1)

(2.2)

여기서 $\eta$ = $\sqrt{\mu/\epsilon}$, $\hat n$은 경계면에서 영역 (I)로 향하는 단위 법선 벡터(unit normal vector), 영역 (I)의 경계면에 있는 $\bar E_t, \bar H_t$는 각각 경계면에 평행한 전기장 및 자기장, $\bar E_1, \bar H_1$은 영역 (I)에 있는 임의의 전자기장이다. 전자기장의 경계 조건에 의해 영역 (I)의 접선 성분 $\bar E_t, \bar H_t$는 경계면에서 영역 (II)의 투과 전자기장과 같다. 식 (2.2)의 왼쪽 식에 $\hat n \times$을 연산해서 접선 자기장 $\bar H_t$에 대한 식도 만든다.

(2.3)

[그림 2.1]의 조건에 임피던스 경계 조건인 식 (2.2) 혹은 (2.3)을 써서 반사 계수를 유일하게 구할 수 있다. 먼저 $\hat n \cdot \bar E_1$ = $0$인 TE파(transverse electric wave) 혹은 S(senkrecht)편광을 가정한 후, 식 (2.3)에 대입해서 전기장의 반사 계수(reflection coefficient) $\Gamma_s$를 구한다.

(2.4)

여기서 $\bar E_{1i}, \bar E_{1r}$은 각각 영역 (I)에 있는 입사 및 반사 전기장, $\bar E_{1r}$ = $\Gamma_s \bar E_{1r}$, $\hat n \cdot \hat r$ = $-\cos \theta_i$, $\eta_1$ = $\sqrt{\mu_1/\epsilon_1}$, $Z_1$ = $\eta_1 / \cos \theta_i$, $\theta_i$는 입사 전기장의 파면과 경계면이 이루는 각도이다. 만약 경계 임피던스를 $Z_s$ = $\eta_2 \mathbin{/} \cos \theta_t$로 두면, $\Gamma_s$는 프레넬 방정식(Fresnel equation)에 나오는 TE파의 반사 계수 $r_s$와 동일해진다. 여기서 $\theta_t$는 투과 전기장의 투과 각도이다. 식 (2.4)와 유사하게 식 (2.2)를 이용해, $\hat n \cdot \bar H_1$ = $0$ 조건인 TM파(transverse magnetic wave) 혹은 P(parallel)편광에 대한 자기장의 반사 계수 $\Gamma_p$를 계산한다.

(2.5)

여기서 $Y_s$ = $1/Z_s$은 경계 어드미턴스(boundary admittance)이다. 프레넬 방정식에 쓰는 TM파의 반사 계수 $r_p$와 맞추려면, $Y_s$ = $1 \mathbin{/} (\eta_2 \cos \theta_t)$로 설정한다. 영역 (II)에 생기는 전자기장을 모두 $0$으로 가정하고 식 (1.1)와 (1.2)에 있는 등가 자류 밀도 $\bar M_s$와 등가 전류 밀도 $\bar J_s$를 만들어서 식 (2.2)와 (2.3)을 다시 쓸 수도 있다.

(2.6)

여기서 $\bar E_1 \times \hat n$ = $\bar M_s$, $\hat n \times \bar H_1$ = $\bar J_s$이다.

[그림 2.2] 경계면에서 반사 및 투과하는 전자파

[그림 2.2]와 같은 기하 구조에 맥스웰 방정식을 직접 적용해서 임피던스 경계 조건을 혼합 경계 조건으로 쉽게 공식화할 수 있다. 경계면 $y$ = $0$을 기준으로 입사파와 반사파가 함께 있는 곳은 영역 (I)[$y > 0$], 투과파만 존재하면 영역 (II)[$y < 0$]라고 정의한다. 입사 평면(plane of incidence)에 대한 TE파 혹은 수평 편파(horizontal polarization)의 혼합 경계 조건은 다음과 같다.

(2.7)

여기서 $\alpha_h$는 접선과 법선 경계 조건을 섞는 혼합 계수(mixed coefficient)이다. TE파에 대한 프레넬의 방정식(Fresnel's equation) 유도에 쓰인 영역 (I)의 접선과 법선 전기장 성분을 식 (2.7)에 대입한다.

(2.8)

여기서 $k_1$ = $\omega \sqrt{\mu_1 \epsilon_1}$, $\theta_i$는 [그림 2.2]에 정의한 입사각, $r_s$는 TE파의 반사 계수이다. 식 (2.8)을 $\alpha_h$에 대해 정리해서 반사 계수와의 관계를 유도한다[4].

(2.9)

경계면 $y$ = $0$에서 접선 전기장과 자기장의 연속 조건을 써서 식 (2.9)를 증명할 수도 있다.

(2.10a)

(2.10b)

여기서 $k_{ty}$ = $k_2 \cos \theta_t$, $Z_2$ = $Z_s$이다. TM파 혹은 수직 편파(vertical polarization)의 혼합 경계 조건도 식 (2.7)처럼 기술한다.

(2.11)

여기서 $\alpha_v$는 TM파의 혼합 계수이다. 이 혼합 계수 $\alpha_v$는 따로 계산할 필요없이 식 (2.9)에 쌍대성(duality)을 적용해서 얻는다. 즉, 전기 원천이 $E_z$를 만든다고 가정한 후 쌍대성을 적용해 $E_z$를 $H_z$로 바꾼다.

(2.12)

여기서 $r_p$는 TM파의 반사 계수이다. 모든 매질이 비자성[$\mu_1$ = $\mu_2$ = $\mu_0$]이고 영역 (I)은 진공[$\epsilon_1$ = $\epsilon_0$]인 경우는 스넬의 법칙(Snell's law)에 따라 식 (2.9)와 (2.12)가 매우 간단해진다.

(2.13)

여기서 $\epsilon_2$ = $\epsilon_r \epsilon_0$, $\sin^2 \theta_i$ = $\epsilon_r \sin^2 \theta_t$이다. 혼합 경계 조건인 식 (2.7)과 (2.11)에 추가적으로 영역 (II)의 전기 전도도(electrical conductivity) $\sigma$가 매우 높다는 요건을 더한 경우는 레온토비치 경계 조건(Leontovich boundary condition)이라 명한다. 레온토비치 경계 조건에서는 입사각 $\theta_i$의 영향이 거의 없으며 편파에 따라 혼합 계수의 실수부 부호가 달라진다.

(2.14)