[경고] 아래 글을 읽지 않고 "전기장"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
[전기력선(electric lines of force)]
[쿨롱의 비틀림 저울(Coulomb's torsion balance)]
[그림 1] 전하에 작용하는 전기력(출처: wikipedia.org)
쿨롱Charles-Augustin de Coulomb(1736–1806)이 1785년쿨롱 49세, 조선 정조 시절에 발표한 전기력(電氣力, electric force)에 대한 유명한 공식[3]–[5]이 식 (1)이다.[쿨롱 대신 드(de) 쿨롱이라 부르기도 하지만, 프랑스 귀족 출신이란 증거는 없다.] 초등학교 시절부터 배우기 때문에 식 (1)이 제시하는 전기력의 관계는 우리에게 매우 익숙하다.
(1)
여기서 $k_e$는 쿨롱 상수(Coulomb constant)이며 $q$와 $Q$는 전하(電荷, electric charge), $R$ = $\sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2}$은 전하가 서로 떨어진 거리, 단위 벡터[크기가 1인 벡터] $\hat R$[= $(\bar r - \bar r')/R$]은 $q$와 $Q$를 연결하는 벡터이다. 전하는 뜻 그대로 전기적 무게라고 생각할 수 있다. 마치 무게와 유사하게 전하는 그 양이 클수록 더욱 큰 전기력을 발휘한다. 하지만 한 종류만 있는 무게와 다르게, 전하는 두 종류인 양의 전하 ($+$)와 음의 전하 ($-$)만 존재한다. 이 개념은 미국 건국의 아버지(Founding Fathers of the United States) 중 한 명인 프랭클린Benjamin Franklin(1706–1790)이 1747년프랭클린 41세, 조선 영조 시절에 제안했다. 프랭클린은 전하 보존 법칙(conservation of electric charge)도 최초로 발견했다.
쿨롱 법칙(Coulomb's law)인 식 (1)의 정성적인 의미는 [그림 1]과 같다. 즉, 같은 극끼리는 서로 밀치고 다른 극끼리는 서로 당긴다. 밀거나 당기는 힘은 거리($R$)의 제곱에 반비례한다. 또한 전하는 두 종류인 양과 음 전하만 존재하며, 전하의 극성에 따라 인력과 척력이 발생한다. 식 (1)에 있는 비례 상수 $k_e$는 진공의 성질을 고려하여 식 (2)로 정의한다.
쿨롱 법칙(Coulomb's law)인 식 (1)의 정성적인 의미는 [그림 1]과 같다. 즉, 같은 극끼리는 서로 밀치고 다른 극끼리는 서로 당긴다. 밀거나 당기는 힘은 거리($R$)의 제곱에 반비례한다. 또한 전하는 두 종류인 양과 음 전하만 존재하며, 전하의 극성에 따라 인력과 척력이 발생한다. 식 (1)에 있는 비례 상수 $k_e$는 진공의 성질을 고려하여 식 (2)로 정의한다.
(2)
여기서 $\epsilon_0$은 진공 중의 유전율(誘電率, permittivity)이다. 식 (1)과 (2)에 출현하는 힘의 단위는 N[뉴턴, newton], 전하의 단위는 C[쿨롱, coulomb], 전기 용량(靜電容量, capacitance)의 단위는 F[패럿 혹은 패러드, farad]이다. 단위를 바탕으로 진공중의 유전율 $\epsilon_0$를 살펴보면, 커패시터 혹은 축전기(蓄電器, capacitor)를 만들 때 공간에 아무것도 채우지 않더라도 1 m당 $\epsilon_0$ 만큼의 전기 용량[단위: F]이 생김을 의미한다. 진공중의 유전율 $\epsilon_0$은 측정하지 않고, 이미 정의된 광속 $c$와 측정하는 값인 진공중의 투자율 $\mu_0$으로 환산해서 $\epsilon_0$ = $1 \mathop{/} (c^2 \mu_0)$ $\approx$ 8.8541878128$\cdots \times 10^{-12}$ F/m로 정한다. 식 (1)에 있는 거리 제곱에 반비례하는 성질은 실험적으로 $1/r^{2 + r_e}$ 정밀도로 측정되었다[1]. 여기서 $r_e$ = $(2.7 \pm 3.1) \times 10^{-16}$이다. 이는 정말 놀랄 만한 정밀도이다.
[그림 2] 극성이 다른 전하에 존재하는 전기장(출처: wikipedia.org)
쿨롱의 놀라운 실험식 (1)을 다시 쓰면 전기장(電氣場, electric field) $\bar E$에 대한 정의인 식 (3)을 얻게 된다.
(3)전기장의 단위는 V/m가 많이 쓰이지만, 식 (3)에 바탕을 두고 N/C으로 전기장을 정량화하기도 한다. 전기장 단위는 서로 동등해서 V/m 혹은 N/C을 마음대로 선택해 쓸 수 있다.
식 (3)에서 쿨롱 법칙을 더 단순화하려고 새로운 변수 $\bar E$를 도입한다고 단순하게 생각하면 안된다. 식 (3)의 진정한 의미는 전자기파(electromagnetic wave)를 이해할 때 분명해진다. 쿨롱 법칙에서 극성이 서로 다른 전하는 서로 당긴다. 어떻게 이런 인력이 가능할까? 서로 접촉하지도 않는데 어떻게 전기력은 서로 전달이 될까? 이 문제를 심각하게 고민한 사람은 패러데이Michael Faraday(1791–1867)이다. 패러데이는 전기장이라는 새로운 공간적 특성이 생겨서 서로 잡아당기거나 서로 민다고 생각했다. 이론가 중에서 패러데이의 상상을 진지하게 고민한 최초의 인물이 맥스웰James Clerk Maxwell(1831–1879)이다. 후일 결국 맥스웰은 전기와 자기는 근본적으로 같음을 수학적으로 명쾌한 미분 방정식으로 증명했다. 따라서 현대적인 의미로 전기장을 정의하면 전기력이 전달되는 범위[마당]가 된다. 전기장이 전달되어야만 전기력이 식 (1)과 같이 생성된다. 전기장이 전달되지 않으면 관찰자 입장에서는 아무런 일도 일어나지 않는다. 이 개념이 전기장 개념의 핵심이다.
[가우스 정리(Gauss' theorem)]
[점전하와 가우스 정리(Gauss' theorem)]
(4)
여기서 점전하는 면적이나 체적을 가지지 않고 점에만 전하가 집중된 가상의 물질이다.
[증명]
식 (3)을 임의의 표면 $s$에 대해 표면 적분하면 어떻게 될까? 식이 복잡해지지 않고 오히려 식 (5)처럼 매우 간단해진다.
(5)
______________________________
식 (5)의 유도에서 입체각(立體角, solid angle) $\Omega$를 식 (6)처럼 정의한다.
(6)
여기서 벡터 $\bar r$[= $(x, y, z)$]은 관측점(observation point), 벡터 $\bar r'$[= $(x', y', z')$]는 원천점(source point)이다. 원천점은 점전하 $Q$가 위치해 있는 점이다. 식 (6)과 같이 입체각을 정의하면 $R$에는 관계없이 공간에 분포한 각도만 정말 나타내는가? 이를 이해하려면 먼저 구 좌표계(spherical coordinate) $(R, \theta, \phi)$를 고려해야 한다. 임의의 면적 미분소(differential area) $d \bar a$는 아래로 표현할 수 있다.
(7)
여기서 면적 미분소 $da_R, da_\theta, da_\phi$는 각각 $R, \theta, \phi$ 방향 면적이다. 면적 벡터의 방향은 면적이 정의된 평면에 수직인 벡터로 정하므로 면적 미분소 $da_R$은 단위 벡터 $\hat R$에 수직인 평면이 된다. 즉, 구 좌표계 특성에 의해 $da_R$은 식 (8)로 정해진다.
(8)
식 (7)과 (8)을 식 (6)에 넣고 표면 적분을 수행하면 식 (9)의 결과를 넣는다.
(9)
식 (9)에서 입체각 $\Omega$는 $R$에는 관계가 없고 오직 공간에 생긴 각도인 $\theta, \phi$에만 관계된다.
[그림 3] $R \ne 0$을 제외한 구모양 체적
식 (4)는 발산 정리를 이용해도 쉽게 증명된다. 구 좌표계에 대해 발산을 적용하면 식 (10)을 얻는다.
(10)만약 $R \ne 0$이면 식 (10)이 성립한다. 그래서 식 (4)에 발산 정리를 적용한 결과는 항상 0이다. 이 결과를 [그림 3]과 같은 구모양 체적에 적용하면 식 (11)이 반드시 성립한다.
(11)
여기서 표면적 $S_1$은 $R \ne 0$인 임의의 표면적이며 $S_2$는 구의 표면적이다. $S_2$는 구 표면적이기 때문에 $R$에 대해 대칭적인 결과를 가진 식 (4)의 전기장은 쉽게 적분이 된다. 그런데, [그림 3]에 제시된 체적은 발산 정리가 적용될 수 있는 체적이 아니다. 발산 정리가 적용가능하려면 이 체적이 닫힌 표면적을 가져야 한다. [그림 3]의 체적은 중앙에 구멍이 뚫린 체적이므로 이대로는 발산 정리가 적용될 수 없다. 그래서 복소 함수론의 선 적분과 유사하게 [그림 4]와 같은 적분을 고려한다.
[그림 4] 발산 정리가 적용가능한 구모양 체적(출처: wikipedia.org)
[그림 4]는 닫힌 표면적을 만들기 위해 바깥 표면적에서 내부 표면적으로 인위적인 구멍을 만든다는 의미이다. 또한, [그림 4]는 닫힌 표면적을 가지고 있어 항상 발산 정리를 적용할 수 있다. 이 구멍을 무한히 미세하게 만들면 미세구멍에서 면적 벡터의 크기는 같고 방향은 반대이므로 서로 상쇄되어 표면 적분 관점에서는 [그림 4]의 체적과 [그림 3]의 체적을 동일하게 취급할 수 있어 발산 정리를 적용할 수 있다.
식 (4)는 점전하에 대한 가우스 정리이다. 일반적인 전하 분포는 어떤 특성을 가질까? 일반적인 전하 분포를 다루기 위해 전하 밀도(電荷密度, charge density) $\rho$를 정의한다.
(12)
점전하가 아닌 임의로 전하가 분포되어 있으면 전하 밀도를 이용하여 식 (3)을 변형한다.
(13)
여기서 $R$은 식 (6)으로 정의되며 관측점과 원천점을 분명히 제시하려고 각각 $\bar r$과 $\bar r'$을 사용한다.
[쿨롱 법칙의 적분형: 일반 전하 분포와 가우스 정리]
(14)
[증명]
식 (13)을 식 (14)에 대입하여 정리하면
(15)
여기서 $Q$는 체적 $v'$ 내부에 포함된 모든 전하량이다. 식 (15)를 보면, 일반적으로 분포된 전하에 대한 최종 결과는 점전하를 가정한 식 (4)와 놀랍게도 동일하다. 식 (15) 유도에는 점전하의 결과인 식 (9) 혹은 (11)을 사용한다.
______________________________
[쿨롱 법칙의 미분형: 맥스웰 방정식(Maxwell's equation)]
(16)
[증명]
적분 형태인 식 (14)를 미분형으로 표현하기 위해 식 (15)를 다시 생각한다.
(17)
여기서 첫째 줄의 체적 $v$와 $v'$는 동일하다고 가정하여 둘째 줄의 식을 얻는다. 식 (17)의 둘째 줄에서 체적 $v$는 임의로 작게 잡을 수 있으므로 반드시 식 (16)이 성립해야 한다.
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식 (14)와 (16)에는 가우스 정리를 적용하기 때문에, 쿨롱 법칙이란 이름 대신 가우스 법칙(Gauss' law) 혹은 더 정확하게 전기에 대한 가우스 법칙(Gauss' law for electricity)이라고도 한다. 법칙 이름에 가우스가 붙은 이유는 가우스 정리를 다시 증명해 고전 역학에 적용한 수학자겸 물리학자가 가우스Carl Friedrich Gauss(1777–1855)이기 때문이다[2]. 가우스 정리는 전기장을 설명하려 만든 명제는 아니지만[원래는 중력을 포텐셜 관점으로 설명하기 위해 가우스가 1813년에 개발], 전기장 표현식에 성공적으로 쓰인다. 다시 한 번 천재 가우스에게 감사한다.
초보적인 전자기학 교재에 출현하는 정전장 문제는 모두 정방향 문제(forward problem)이다. 정전장(靜電場, static electric field or electrostatics)에서 정방향 문제는 전하 분포가 주어진 경우의 전기장 구하기이다. 식 (13)에서 전하 밀도 $\rho$가 정해지고 관측점 $\bar r$이 정해지면 전기장 $\bar E$는 초보적인 적분으로 그 결과를 쉽게 구할 수 있다. 이런 적분을 하기 위해 직접 적분하거나 적분표를 참고할 수 있다. 적분표에도 나오지 않는 적분은 수치 적분(numerical integration)을 하면 된다. 즉, 이런 단순 적분 문제가 정방향 문제이다. 시간만 투자하면 해결이 가능하다. 하지만, 역방향 문제(inverse problem)는 만만하지 않다. 특정 위치에서의 전기장 $\bar E$만 아는 경우,[주로 경계 조건(境界條件, boundary conditions)으로 주어짐] 이 전기장을 만든 전하 밀도 $\rho$ 구하기가 역방향 문제이다. 식 (13)에서 $\bar E$를 알 때 $\rho$ 구하기 문제는 사실 적분 방정식(積分方程式, integral equation) 풀기이다. 적분 방정식을 풀 수만 있다면 역방향 문제는 쉽게 해결할 수 있다. 하지만 생각해보라. 적분을 하기가 쉬운가, 적분 방정식을 풀기가 쉬운가? 우리는 왜 정방향 문제보다는 역방향 문제를 고민해야 하는가? 현실적으로 우리는 눈에 보이지 않는 전하 분포를 정확히 측정할 수가 없다. 측정 가능한 전기장을 통해 거꾸로 전하 분포를 추정해야 한다. 즉, 정방향 문제는 교재에만 나올 뿐 현실적이지 않으므로 실제 문제는 역방향 문제로 접근해야 한다. 일단 전하 분포만 구해지면 정방향 문제가 되므로 식 (13)처럼 적분해서 모든 영역의 전기장을 얻을 수 있다.
[그림 5] 수소 원자의 파동 함수(출처: wikipedia.org)
쿨롱 법칙인 식 (1)은 매우 훌륭한 실험식이지만 $R \to 0$으로 가까이 가면 발산한다. 전기력이 발산하면 그에 해당하는 에너지도 발산하므로 물리적으로 문제가 있다. 이 문제를 해결한 답은 양자 역학(量子力學, quantum mechanics)이다. 전자(電子, electron)의 위치는 특정할 수 없고 마치 구름처럼 확률적으로 양성자(陽性子, proton) 주위에 분포한다. 그래서 [그림 5]처럼 수소 원자 내부인 $R$ = $0$ 위치[양성자의 위치]에 전자가 있다고 확정적으로 말할 수 없지만 평균적으로는 $R$ = $0$에 전자가 있으므로 외부에서 볼 때 수소 원자는 극성을 가지고 있지 않다. 이런 방식으로 전자와 양성자의 특성을 설명하면 실험 결과를 매우 잘 예측할 수 있다. 따라서 쿨롱 법칙은 매우 작은 전자와 양성자 크기 범위에서도 여전히 유효하게 된다.
[그림 6] 전리층의 대기상 분포(출처: wikipedia.org)
전기장의 단위 V/m의 크고 작음을 경험적으로 이해할 때는 전리층(電離層, ionosphere)에 의해 생기는 지면의 전기장 크기를 보면 쉽다. 전리층은 태앙 복사(solar radiation), 특히 자외선에 의해 열권(熱圈, thermosphere)의 대기 분자가 해리되어 생긴 전자(electron) 및 하전된 원자나 분자가 만드는 도체층이다. 하전된 원자나 분자에 비해 전자는 쉽게 움직일 수 있어서 전리층은 ($+$) 전하를 띠고 접지 역할을 하는 지면에는 ($-$) 전하가 모인다. 그래서 전리층과 지면은 일종의 구면 커패시터(spherical capacitor)를 이룬다[7]. 지면에서 측정한 전기장은 위치마다 다르지만 대표값은 120 V/m이다. 보통 사람의 키 정도를 가정하면 발끝에서 머리끝에 걸린 전압은 100 V에서 200 V 정도가 된다. 우리가 멀쩡히 살아있다는 사실에 따라 120 V/m 정도의 전기장은 우리 몸에 어떤 해도 끼치지 못한다. 지면에서 대기까지 생각의 범위를 늘리면, 고도가 높아짐에 따라 전기장의 크기는 줄어들어서 전리층의 전기장은 거의 0에 가깝다. 더 구체적으로 측정한 전기장은 고도가 1 km 정도 높아질 때 지수 함수적으로 $e^{-0.6}$ $\approx$ $0.55$만큼 감소한다. 그러면 지면 기준으로 전리층에 생성된 전압(voltage) $V_i$ $\approx$ $200$ kV 정도 된다.
(18)여기서 $E_g$는 지면 전기장이며 대략 120 V/m, $\alpha$ = $0.6$ km$^{-1}$, $h$는 전리층의 높이이다. 전기장의 지수적 감소는 대기층의 전기 저항(electrical resistance) 혹은 전기 전도도(electrical conductivity)에 기인한다. 지면 바로 위에는 절연체인 대기층이 두텁고 자외선은 약해 자유 전하가 거의 없으며 대신 높은 저항만 있다. 하늘 높이 가면 대기는 옅어지고 자외선에 의한 자유 전하가 늘어서 전기 전도도가 커져 저항이 낮아진다. 그래서 지면에서는 전기장이 크고 높은 고도에서는 전기장이 약해진다.
[참고문헌]
[1] E. R. Williams, J. E. Faller,and H. A. Hill, "New experimental test of Coulomb's law: a laboratory upper limit on the photon rest mass," Phys. Rev. Lett., vol. 26, no. 12, pp. 721–724, 1971.
[2] C. F. Gauss, Theoria Attractionis Corporum Sphaeroidicorum Ellipticorum Homogeneorum Methodo Nova Tractata (The Theory of Attraction of Homogeneous Spherical and Elliptical Bodies - A New Method Treated), 1813.
[3] C.-A. de Coulomb "Premier mémoire sur l’électricité et le magnétisme (First memoir on electricity and magnetism)," Mémoires de Mathématique et de Physique (Memoirs of Mathematics and of Physics), Académie Royale des Sciences (Royal Academy of Sciences), pp. 569–577, 1785. (In French)
[4] C.-A. de Coulomb "Second mémoire sur l’électricité et le magnétisme (Second memoir on electricity and magnetism)," Mémoires de Mathématique et de Physique (Memoirs of Mathematics and of Physics), Académie Royale des Sciences (Royal Academy of Sciences), pp. 578–611, 1785. (In French)
[5] C.-A. de Coulomb "Troisième mémoire sur l’électricité et le magnétisme (Third memoir on electricity and magnetism)," Mémoires de Mathématique et de Physique (Memoirs of Mathematics and of Physics), Académie Royale des Sciences (Royal Academy of Sciences), pp. 612–638, 1785. (In French)
[6] 김세윤, 전자기학, 제3판, 퍼스트북, 2020.
[7] T. Edwards, "Electric field on earth," The Physics Factbook, 1998. (방문일 2023-12-26)
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